A fórmula da seção responde a uma questão simples de geometria de coordenadas: dados dois pontos, qual é a coordenada do ponto que divide o segmento entre eles em uma proporção escolhida? Ele generaliza a fórmula do ponto médio para qualquer proporção e vem em dois sabores – divisão interna e externa.

Como funciona a fórmula da seção

Para um segmento de A(x₁, y₁) a B(x₂, y₂), o ponto P que divide AB internamente na razão m:n (medido de A para B) é P = ((mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n)). Esta é uma média ponderada dos dois pontos finais - maior n puxa o ponto em direção a A, maior m puxa-o em direção a B. Definir m = n = 1 fornece pesos iguais e reduz exatamente à fórmula do ponto médio, ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2).

Divisão interna vs. divisão externa

A divisão interna coloca o ponto em algum lugar entre A e B. A divisão externa o coloca fora do segmento, na linha estendida além de um dos pontos finais, e usa uma subtração em vez de uma adição na fórmula: P = ((mx₂−nx₁)/(m−n), (my₂−ny₁)/(m−n)). A divisão externa é indefinida sempre que m é igual a n, uma vez que o denominador se torna zero - geometricamente, uma razão externa igual colocaria o ponto infinitamente distante.

Onde a fórmula da seção é usada

A fórmula da seção aparece em toda a geometria e física: encontrar o centróide de um triângulo (que divide cada mediana 2:1), localizar um ponto em uma determinada fração ao longo de uma estrada ou cabo em um mapa, calcular centros de massa ponderados e em computação gráfica para interpolar um ponto ao longo de uma linha. É uma das fórmulas fundamentais construídas sobre as fórmulas de distância e ponto médio na geometria de coordenadas.