Um triplo pitagórico é um conjunto de três números inteiros que se ajustam exatamente ao teorema de Pitágoras - sem arredondamentos, sem decimais. Esta calculadora os gera a partir da fórmula de Euclides, verifica se os números que você já possui formam um e lista cada triplo que contém um determinado lado, usando a mesma relação que ancorou a geometria do triângulo retângulo desde a antiguidade.
Por que (3, 4, 5) é especial
(3, 4, 5) é o menor triplo pitagórico e o único composto por três inteiros consecutivos. Como 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5², um triângulo com esses comprimentos laterais sempre tem um ângulo perfeito de 90° - e é por isso que os construtores usaram 3-4-5 (e seus múltiplos, como 6-8-10) cordas e fitas métricas para quadrar cantos por milhares de anos, muito antes de alguém escrever a álgebra por trás disso.
Cada múltiplo de (3, 4, 5) — (6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20) e assim por diante para sempre - também é um triplo válido, porque dimensionar cada lado de um triângulo retângulo pelo mesmo fator preserva todos os seus ângulos.
A fórmula de Euclides gera todos eles
Euclides provou que toda tripla pitagórica primitiva pode ser gerada a partir de um par de inteiros m e n (com m > n > 0, coprimo e paridade oposta) via a = m² − n², b = 2mn, c = m² + n². Inserir m = 2, n = 1 dá (3, 4, 5); m = 3, n = 2 dá (5, 12, 13); m = 4, n = 1 dá (8, 15, 17). Cada triplo não primitivo é então apenas um número inteiro múltiplo de um deles.
Isso é mais do que uma curiosidade - significa que o conjunto infinito de triplos pitagóricos tem uma descrição completa e finita: escolha qualquer par válido (m, n) para os triplos primitivos e, em seguida, dimensione por qualquer número inteiro positivo para o resto.
Primitivo vs. não primitivo e como diferenciá-los
Um triplo é primitivo quando mdc(a, b, c) = 1 — os três números não compartilham nenhum fator comum. (5, 12, 13) é primitivo; (10, 24, 26) não é, porque dividir cada termo por 2 resulta em (5, 12, 13). Para verificar se um triplo que você encontrou é primitivo, encontre o máximo divisor comum de todos os três números: se for 1, você tem um triplo primitivo; se for k > 1, a divisão por k revela o triplo primitivo abaixo.
Essa distinção é importante ao listar cada triplo contendo um determinado lado: a lista completa sempre se divide em um punhado de triplos primitivos mais seus múltiplos escalonados, e a guia Listar por Lado desta calculadora rotula cada resultado de acordo.