Calculadora de área poligonal

Todas as fórmulas de área de polígono regular se resumem ao mesmo insight: o polígono pode ser dividido em n triângulos isóceles congruentes a partir do centro, cada um com base s e altura igual ao apótema a. A área de cada triângulo é ½ × s × a, e a área total é n × ½ × s × a = ½ × (n × s) × a = ½ × Perímetro × Apótema. Esta forma torna a fórmula da área intuitivamente clara: você está calculando metade do produto do comprimento do limite e do raio interno, análogo a A = ½ × 2πr × r = πr² de um círculo. O apótema aumenta com n (conforme o polígono se aproxima de um círculo), então para n grande a área do polígono se aproxima de πR² onde R é o circunraio. Um polígono de 100 lados tem uma área dentro de 0,05% de seu círculo circunscrito - que é como Arquimedes limitou π entre 223/71 e 22/7 usando polígonos de 96 lados.

As quatro fórmulas principais dos quadriláteros — retângulo (w × h), paralelogramo (base × h), trapézio (½(b₁+b₂)×h) e losango ((d₁×d₂)/2) — todas seguem um princípio unificador: qualquer polígono pode ser decomposto em triângulos. As fórmulas do retângulo e do paralelogramo são idênticas em estrutura (base vezes altura perpendicular) porque o paralelogramo pode ser transformado em um retângulo cortando um triângulo retângulo de uma extremidade e fixando-o na outra. A fórmula do trapézio calcula a média das duas bases paralelas antes de multiplicar pela altura – uma média ponderada que reflete que o trapézio é mais largo em uma base do que na outra. A fórmula da diagonal do losango vem do fato de que as diagonais dividem o losango em quatro triângulos retângulos, cada um com pernas d₁/2 e d₂/2, com área total 4 × ½ × (d₁/2) × (d₂/2) = d₁d₂/2.

A fórmula Shoelace é a solução geral para o problema da área do polígono: dadas as coordenadas (x,y) de qualquer vértice de polígono simples (sem auto-interseção) em ordem, calcule a área sinalizada como ½|Σ(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ)|. A fórmula é exata — não uma aproximação — e funciona para polígonos convexos e côncavos, polígonos com qualquer número de vértices e polígonos em qualquer orientação ou posição. É chamado de 'cadarço' por causa do padrão visual quando as coordenadas são escritas em uma matriz de duas colunas e os produtos cruzados são calculados diagonalmente (como amarrar um sapato). A fórmula é O(n) em cálculo — linear no número de vértices — tornando-a eficiente mesmo para polígonos com milhares de pontos. Sistemas GIS modernos, rasterizadores de polígonos em motores de jogos e softwares de topografia usam a fórmula Shoelace (ou integrais equivalentes do teorema de Green) para cálculos de área. A restrição principal: os vértices devem ser ordenados (todos no sentido horário ou anti-horário) e o limite não deve cruzar a si mesmo.