Calcule o volume, a área de superfície e os raios intraesféricos/circunsféricos de um octaedro regular a partir do comprimento de sua borda.
Comprimento da borda
Todas as oito faces de um octaedro regular são triângulos equiláteros idênticos, portanto, um único comprimento de aresta determina todas as outras medidas.
Volume
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Insira um comprimento de borda acima para ver o volume.
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Área de superfície
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Raio interno
Insira um comprimento de aresta acima para ver o volume, a área de superfície e os raios.
Área de superfície
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Insira um comprimento de aresta acima para ver a área da superfície.
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Volume
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Área por rosto
Insira um comprimento de aresta acima para ver o detalhamento da área de superfície.
Raio interno
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Insira um comprimento de aresta acima para ver os raios.
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Raio interno
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Raio da circunsfera
Insira um comprimento de aresta acima para ver os raios da esfera interna e circunsférica.
4 min de leitura3 etapas10 termos3 exemplos6 perguntasV = (√2/3) × a³
Um octaedro regular é um dos 5 sólidos platônicos – 8 faces triangulares equiláteras idênticas, 6 vértices e 12 arestas iguais, em forma de duas pirâmides quadradas unidas em suas bases.
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Etapas
Como usar esta calculadora
3 etapas▸
1
Insira o comprimento da borda
Digite o comprimento da borda do octaedro regular no campo de entrada único e escolha uma unidade – polegadas, pés, centímetros ou metros. Como todas as arestas de um octaedro regular têm o mesmo comprimento, esse número é tudo que a calculadora precisa. O resultado é atualizado instantaneamente conforme você digita.
2
Leia o volume
A guia Volume mostra o volume em unidades cúbicas, além da área de superfície e do raio da esfera como estatísticas de suporte abaixo dela. A linha de interpretação explica o volume e a área de superfície juntos em uma única frase.
3
Verifique a área da superfície e os raios
Mude para a guia Área de Superfície para ver o detalhamento de 8 faces (área de superfície total e área por face) ou a guia Raios para o raio da insfera (a maior esfera que cabe dentro) e o raio da circunsfera (a esfera que passa por todos os 6 vértices). Ambos são atualizados automaticamente sempre que você altera o comprimento da borda — não há necessidade de inserir nada novamente.
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Referência
Fórmula e metodologia
3 fórmulas▸
Volume
V = (√2/3) × a³
O volume de um octaedro regular depende apenas do comprimento de sua aresta a, elevado ao cubo e dimensionado por √2/3 (≈ 0,4714). Geometricamente, um octaedro regular pode ser dividido em duas pirâmides quadradas unidas pelas suas bases quadradas, e esta fórmula fechada é o resultado da soma dos seus volumes.
Área de superfície
SA = 2√3 × a²
Um octaedro regular possui 8 faces triangulares equiláteras idênticas. Cada face tem área (√3/4) × a², então a área total da superfície é 8 × (√3/4) × a² = 2√3 × a².
Raios inesféricos e circunsféricos
r = a/√6, R = a/√2
O raio da esfera r é o raio da maior esfera que cabe inteiramente dentro do octaedro, tangente ao centro de cada face. O raio da circunsfera R é o raio da menor esfera que passa por todos os 6 vértices. Ambos seguem diretamente da geometria de coordenadas simétricas do octaedro - seus 6 vértices ficam em (±a/√2, 0, 0), (0, ±a/√2, 0) e (0, 0, ±a/√2) quando centrados na origem.
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Glossário
Principais termos explicados
10 termos▸
OctaedroUma forma tridimensional com 8 faces triangulares, 6 vértices e 12 arestas. Um octaedro regular se parece com duas pirâmides quadradas unidas base com base e é um dos 5 sólidos platônicos.
Sólido platônicoUm dos exatamente 5 poliedros convexos cujas faces são todas polígonos regulares idênticos, com o mesmo número de faces reunidas em cada vértice: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
BordaUm dos 12 segmentos de reta onde duas faces se encontram. Em um octaedro regular, cada aresta tem o mesmo comprimento, denotado por a — a única entrada que esta calculadora precisa.
CaraUma das 8 superfícies triangulares planas do octaedro. Em um octaedro regular, cada face é um triângulo equilátero idêntico com área (√3/4) × a².
VolumeA quantidade de espaço 3D delimitado pelo octaedro, medida em unidades cúbicas. Para um octaedro regular com aresta a, V = (√2/3) × a³.
InsferaA maior esfera que cabe inteiramente dentro de um sólido, tocando o centro de cada face. Para um octaedro regular com aresta a, o raio da esfera é a/√6.
CircunsferaA menor esfera que passa por todos os vértices de um sólido. Para um octaedro regular com aresta a, o raio da circunsfera é a/√2.
pés quadrados (ft²)Unidade de área do sistema usual dos Estados Unidos. 1 ft² = 0,09290304 m².
pés (ft)Unidade de comprimento do sistema usual dos Estados Unidos. 1 pé (ft) = 12 polegadas (in) = 0,3048 m.
polegadas (in)Unidade de comprimento do sistema usual dos Estados Unidos. 1 polegada (in) = 2,54 cm.
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Situações comuns
Exemplos práticos
3 exemplos▸
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Problema de geometria em sala de aula
Comprimento da borda 4
Comprimento da borda 4 in
Volume = (√2/3) × 4³ = 0,4714 × 64 ≈ 30,17 pol³. Área de superfície = 2√3 × 4² = 3,464 × 16 ≈ 55,43 pol². Raio da esfera = 4/√6 ≈ 1,63 pol. Raio da circunsfera = 4/√2 ≈ 2,83 pol. Cada uma das 8 faces tem uma área de cerca de 6,93 pol² (55,43 ÷ 8).
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Corte de pedra preciosa octaédrica
Comprimento da borda 1,2 cm
Comprimento da borda 1.2 cm
Volume = (√2/3) × 1,2³ ≈ 0,4714 × 1,728 ≈ 0,81 cm³. Área de superfície = 2√3 × 1,2² ≈ 3,464 × 1,44 ≈ 4,99 cm². Raio da esfera ≈ 1,2/2,449 ≈ 0,49 cm — útil para estimar como um pequeno cristal octaédrico (como diamante natural ou fluorita) se ajusta dentro de uma moldura.
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Comparação de escala
Comprimento da borda 8 (o dobro do exemplo da sala de aula)
Comprimento da borda 8 in
Dobrar o comprimento da borda de 4 para 8 multiplica o volume por 2³ = 8 (de ≈30,17 a ≈241,36 pol³) e a área de superfície por 2² = 4 (de ≈55,43 a ≈221,7 pol²), enquanto ambos os raios apenas dobram (na esfera de ≈1,63 a ≈3,27 pol., circunsfera de ≈2,83 a ≈5,66 pol.) — uma ilustração direta de como as medições de volume, área e lineares são dimensionadas de maneira diferente.
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Referência
Citar esta calculadora
APA e MLA▸
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MLA
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Análise detalhada
Cada medição de octaedro a partir de um único comprimento de aresta
Um octaedro regular é um dos 5 sólidos platônicos – 8 faces triangulares equiláteras idênticas, 6 vértices e 12 arestas iguais, em forma de duas pirâmides quadradas unidas em suas bases. Como cada aresta tem o mesmo comprimento, um número (o comprimento da aresta a) é suficiente para derivar o volume, a área de superfície e os raios da esfera interna e da circunesfera. Esta calculadora faz isso instantaneamente e explica como cada valor segue dos outros.
Como funciona a calculadora do octaedro
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A calculadora começa no comprimento da aresta a e aplica fórmulas de forma fechada derivadas da geometria do octaedro. O volume é V = (√2/3) × a³ — equivalente à soma dos volumes das duas pirâmides quadradas que compõem a forma. A área de superfície é SA = 2√3 × a², a soma das 8 faces triangulares equiláteras, cada uma com área (√3/4) × a². O raio da insfera (a maior esfera que cabe dentro, tocando todas as faces) é r = a/√6, e o raio da circunsfera (a menor esfera através de cada vértice) é R = a/√2 - ambos decorrem da colocação dos 6 vértices do octaedro simetricamente ao longo dos eixos x, y e z.
Entradas e o que elas significam
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A única entrada é o comprimento da borda, inserido em polegadas, pés, centímetros ou metros. Como um octaedro regular tem todas as 12 arestas iguais, esta única medida determina totalmente a forma - não há base ou altura separada para inserir. O seletor de unidade é apenas um rótulo de exibição: os resultados de volume mostram unidades cúbicas e os resultados de área de superfície mostram unidades quadradas automaticamente, mas a calculadora não converte entre sistemas de unidades, portanto, mantenha sua entrada de comprimento de aresta na unidade selecionada.
Limites e casos extremos
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Esta calculadora assume um octaedro regular — todas as 8 faces são triângulos equiláteros congruentes. Um octaedro irregular (com faces de tamanhos diferentes, como em alguns contextos de cristal ou de engenharia) precisa de um cálculo completo baseado em coordenadas 3D, uma vez que o volume e a área de superfície não se reduzem mais a uma única fórmula de comprimento de aresta. Para pirâmides com base quadrada em vez da forma de pirâmide dupla do octaedro, use a Calculadora de Pirâmide dedicada; para outros sólidos platônicos, consulte a Calculadora de Tetraedro (4 faces) ou a Calculadora de Cubo (6 faces).
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Perguntas
Perguntas frequentes
6 perguntas▸
Qual é a fórmula do volume de um octaedro?+
V = (√2/3) × a³, onde a é o comprimento da aresta de um octaedro regular. Para um comprimento de aresta de 4, isso resulta em 0,4714 × 64 ≈ 30,17 unidades cúbicas.
Quantas faces tem um octaedro?+
Um octaedro regular possui 8 faces triangulares equiláteras, 12 arestas e 6 vértices. Parecem duas pirâmides quadradas unidas base com base.
Um octaedro é um sólido platônico?+
Sim. Um octaedro regular é um dos 5 sólidos platônicos, ao lado do tetraedro, cubo, dodecaedro e icosaedro – todas as suas faces, arestas e ângulos de vértice são idênticos.
Qual é a fórmula da área superficial de um octaedro?+
SA = 2√3 × a², a área combinada das 8 faces triangulares equiláteras idênticas do octaedro. Para um comprimento de aresta de 4, isso é cerca de 3,464 × 16 ≈ 55,43 unidades quadradas – aproximadamente 6,93 unidades quadradas por face.
Qual é o raio da circunferência de um octaedro?+
O raio da circunsfera - o raio da menor esfera que passa por todos os 6 vértices - é R = a/√2 para um octaedro regular com comprimento de aresta a. Para comprimento de aresta 4, isso é cerca de 4/1,414 ≈ 2,83 unidades.
Quais unidades a Calculadora do Octaedro usa?+
Insira o comprimento da borda em polegadas, pés, centímetros ou metros – escolha a unidade no menu suspenso. Os resultados do raio da esfera e da circunsfera usam a mesma unidade linear, os resultados da área de superfície usam-na ao quadrado (in², ft², cm² ou m²) e os resultados de volume usam-na ao cubo (in³, ft³, cm³ ou m³).
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