O ponto médio é o ponto exatamente a meio caminho entre dois outros e é um dos resultados mais úteis em geometria coordenada. Este guia explica a fórmula do ponto médio, como ela se conecta à distância e à inclinação, o que fazer em 3D e como trabalhar de trás para frente para encontrar um ponto final ausente.
A fórmula do ponto médio e por que é apenas uma média
Para encontrar o ponto intermediário entre dois valores em uma reta numérica, você calcula a média deles — o número intermediário entre 2 e 8 é (2 + 8)/2 = 5. A fórmula do ponto médio faz exatamente isso, um eixo por vez: M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2). Em três dimensões, você também calcula a média dos valores z. Como cada coordenada é tratada de forma independente, a fórmula se estende a qualquer número de dimensões sem alterar sua forma.
O resultado está sempre no segmento reto que conecta os dois pontos e divide esse segmento em duas metades iguais. Assim, a distância de A a M é igual à distância de M a B.
Distância e inclinação do mesmo segmento
Quando você tiver dois pontos, mais dois fatos serão fornecidos quase de graça. A distância entre eles é o comprimento do segmento, encontrada com d = √(Δx² + Δy²) — o teorema de Pitágoras com as diferenças de coordenadas como os catetos de um triângulo retângulo. Em 3D você adiciona Δz² abaixo da raiz.
A inclinação (uma ideia 2D) mede a inclinação como subida sobre o percurso, m = Δy ÷ Δx. Uma inclinação positiva sobe para a direita, uma negativa cai e uma linha horizontal tem inclinação 0. Quando os dois pontos compartilham um valor x, a corrida é zero, então a inclinação é indefinida em vez de infinita — esta calculadora diz isso explicitamente em vez de dividir por zero.
Trabalhando em três dimensões
Mudar para 3D adiciona uma coordenada z a cada ponto. As fórmulas do ponto médio e da distância simplesmente ganham um termo z. A inclinação, no entanto, não tem um valor único em 3D: uma linha no espaço é descrita por um vetor de direção, e não por um número de subida, então a calculadora relata a inclinação como 'N/A em 3D'. O esboço de coordenadas ainda ajuda mostrando a sombra do segmento no plano xy.
Invertendo a fórmula para encontrar um ponto final
Às vezes você sabe onde está o meio de um segmento e uma de suas extremidades, e precisa da outra extremidade — por exemplo, refletindo um ponto através de um centro. Reorganizar a fórmula do ponto médio dá B = 2M − A: duplique o ponto médio e subtraia o ponto final conhecido, coordenada por coordenada. A guia Encontrar Endpoint faz isso automaticamente, e você pode verificar a integridade inserindo a resposta de volta na guia Midpoint.