Calcule a distância entre dois pontos no espaço 3D usando a fórmula da distância, mais o ponto médio e o vetor entre eles.
Dois pontos
A
B
Experimente:
Distância 3D
—
Insira os dois pontos para ver a distância.
—
Δx
—
Δy
—
Δz
Insira os dois pontos acima para ver a distância 3D.
Ponto médio de A e B
—
Insira ambos os pontos para calcular o ponto médio.
O ponto médio é o centro exato do segmento de linha que conecta o ponto A e o ponto B - encontrado pela média de cada coordenada separadamente: ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2).
Vetor de deslocamento, A → B
—
Insira ambos os pontos para calcular o vetor.
—
magnitude
O vetor de A a B é B − A: (x2−x1, y2−y1, z2−z1). Sua magnitude (comprimento) é o mesmo valor da distância 3D.
3 min de leitura3 etapas7 termos3 exemplos6 perguntasd = √(Δx² + Δy² + Δz²)
Encontrar a distância entre dois pontos no espaço tridimensional surge constantemente em geometria, física, computação gráfica e engenharia – em qualquer lugar que as posições sejam rastreadas com coordenadas x, y e z.
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Etapas
Como usar esta calculadora
3 etapas▸
1
Insira as coordenadas de ambos os pontos
Digite as coordenadas x, y e z do Ponto A e do Ponto B no cartão de entrada compartilhado. Todas as três guias abaixo usam os mesmos dois pontos.
2
Leia a distância
A guia Distância mostra a distância em linha reta entre os dois pontos, calculada como d = √(Δx²+Δy²+Δz²) — a mesma ideia do teorema de Pitágoras, estendida para uma terceira dimensão.
3
Verifique o ponto médio e o vetor
Mude para a aba Ponto Médio para ver o centro exato do segmento que conecta A e B, ou para a aba Vetor para ver o deslocamento de A para B e sua magnitude.
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Referência
Fórmula e metodologia
3 fórmulas▸
Fórmula de distância 3D
d = √(Δx² + Δy² + Δz²)
Δx, Δy e Δz são as diferenças entre o Ponto B e o Ponto A em cada eixo (x2−x1, y2−y1, z2−z1). Elevar ao quadrado, somar e extrair a raiz quadrada fornece a distância em linha reta entre os dois pontos – uma extensão do teorema de Pitágoras 2D para três dimensões. O resultado está em qualquer unidade de comprimento que as coordenadas já usam.
Fórmula do ponto médio
M = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2)
O ponto médio é a média coordenada dos dois pontos – o centro exato do segmento de linha que os conecta.
Vetor de deslocamento
v = B − A = (x2−x1, y2−y1, z2−z1)
O vetor que aponta do Ponto A ao Ponto B. Seus três componentes são os mesmos Δx, Δy, Δz usados na fórmula da distância, e sua magnitude (comprimento) é igual à distância 3D.
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Glossário
Principais termos explicados
7 termos▸
Distância 3DO comprimento de linha reta do segmento que conecta dois pontos no espaço tridimensional, calculado como √(Δx²+Δy²+Δz²).
Distância euclidianaA medida de distância padrão 'em linha reta' baseada no teorema de Pitágoras - aplica-se em 2D, 3D ou qualquer número de dimensões, somando as diferenças quadradas de cada coordenada.
Ponto médioO ponto exatamente a meio caminho entre dois pontos dados, encontrado pela média de suas coordenadas em cada eixo.
Vetor de deslocamentoUm vetor que descreve a direção e a distância de um ponto a outro. De A a B é igual a B − A, com componentes (Δx, Δy, Δz).
CoordenadasOs valores (x, y, z) que localizam um ponto no espaço tridimensional em relação a uma origem fixa.
Teorema de PitágorasA regra de que em um triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados. A fórmula da distância 3D estende isso encadeando dois triângulos retângulos - um no plano xy e outro subindo em z.
polegadas (in)Unidade de comprimento do sistema usual dos Estados Unidos. 1 polegada (in) = 2,54 cm.
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Situações comuns
Exemplos práticos
3 exemplos▸
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Cenário de linha de base
Origem para (1, 2, 2)
Ponto A (0, 0, 0)Ponto B (1, 2, 2)
Δx=1, Δy=2, Δz=2, então d = √(1²+2²+2²) = √9 = 3. Este é o exemplo padrão da calculadora — um resultado limpo e exato que é fácil de verificar manualmente.
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Verificação do ponto médio
Os mesmos dois pontos, guia Ponto Médio
Ponto A (0, 0, 0)Ponto B (1, 2, 2)
O ponto médio calcula a média de cada coordenada: ((0+1)/2, (0+2)/2, (0+2)/2) = (0,5, 1, 1) — o centro exato do segmento entre os dois pontos.
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Verificação vetorial
Os mesmos dois pontos, guia Vetor
Ponto A (0, 0, 0)Ponto B (1, 2, 2)
O vetor de deslocamento de A para B é B − A = (1−0, 2−0, 2−0) = (1, 2, 2). Sua magnitude, √(1²+2²+2²) = 3, corresponde à distância do primeiro exemplo — o comprimento do vetor é sempre igual à distância entre os pontos.
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Referência
Citar esta calculadora
APA e MLA▸
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Encontrar a distância entre dois pontos no espaço tridimensional surge constantemente em geometria, física, computação gráfica e engenharia – em qualquer lugar que as posições sejam rastreadas com coordenadas x, y e z. Esta calculadora aplica a fórmula de distância 3D diretamente e também apresenta dois resultados intimamente relacionados: o ponto médio do segmento e o vetor de deslocamento entre os pontos.
Como funciona a fórmula de distância 3D
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A fórmula d = √(Δx²+Δy²+Δz²) é uma extensão direta da fórmula da distância 2D, que é em si o teorema de Pitágoras disfarçado. Em 2D, você encontra a hipotenusa de um triângulo retângulo formado por Δx e Δy. Em 3D, você aplica o teorema de Pitágoras duas vezes: primeiro para encontrar a distância diagonal através do plano xy (√(Δx²+Δy²)), depois trata essa diagonal e Δz como as duas pernas de um segundo triângulo retângulo subindo no eixo z. Quadrar ambos os lados e simplificar resulta na fórmula compacta de três termos usada aqui.
Entradas e o que elas significam
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A calculadora usa seis números: as coordenadas x, y e z do ponto A e as coordenadas x, y e z do ponto B. Não há unidades obrigatórias — a fórmula funciona de forma idêntica, quer suas coordenadas estejam em metros, polegadas, pixels ou qualquer outra unidade consistente, e o resultado sai nessa mesma unidade. Coordenadas negativas são totalmente suportadas, já que o espaço 3D se estende em ambas as direções ao longo de cada eixo.
Limites e casos extremos
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Quando o ponto A e o ponto B têm a mesma coordenada, a distância é 0 e o vetor de deslocamento é (0, 0, 0) — não há direção significativa a ser relatada. Esta fórmula mede apenas a distância em linha reta (“em linha reta”); não leva em conta obstáculos, caminhos curvos ou qualquer restrição de roteamento. É também uma métrica diferente da distância de Manhattan (que soma diferenças absolutas de coordenadas em vez de extrair uma raiz quadrada dos quadrados) — as duas fornecem respostas diferentes, exceto ao longo de um único eixo.
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Perguntas
Perguntas frequentes
6 perguntas▸
Qual é a fórmula da distância 3D?+
d = √(Δx²+Δy²+Δz²), onde Δx, Δy e Δz são as diferenças entre as coordenadas x, y e z dos dois pontos. É a extensão tridimensional direta do teorema de Pitágoras.
Como isso difere da fórmula de distância 2D?+
A fórmula 2D é a mesma ideia com o termo z eliminado: d = √(Δx²+Δy²). Se ambos os pontos compartilharem a mesma coordenada z, a fórmula 3D será reduzida exatamente à fórmula 2D.
Como você encontra o ponto médio de dois pontos 3D?+
Média de cada coordenada separadamente: ponto médio = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2). É o ponto exatamente a meio caminho entre A e B em cada eixo.
Quais unidades o resultado usa?+
Qualquer que seja a unidade de comprimento em que suas coordenadas já estejam. A fórmula é independente de unidade - insira as coordenadas em metros e a distância será exibida em metros; insira-os em polegadas e sairá em polegadas.
Qual é o vetor de deslocamento?+
O vetor do Ponto A ao Ponto B, calculado como B − A: (x2−x1, y2−y1, z2−z1). Captura direção e distância; sua magnitude é igual à distância 3D.
É igual à distância de Manhattan?+
A distância de Manhattan soma as diferenças absolutas (|Δx|+|Δy|+|Δz|) em vez de extrair a raiz quadrada da soma dos quadrados. Ele mede viagens em estilo de grade (como quarteirões) em vez de uma linha reta e geralmente fornece um número maior do que a distância euclidiana para os mesmos dois pontos.
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