Os primos são os blocos de construção dos números inteiros: todo número inteiro acima de 1 é primo ou um produto único de primos. Esta calculadora testa a primalidade, fatora números e lista números primos em um intervalo – e faz isso mesmo para números grandes demais para uma planilha, usando o mesmo teste de Miller-Rabin que sustenta a criptografia moderna.
O que torna um número primo
Um número primo tem exatamente dois divisores positivos: 1 e ele mesmo. Essa definição exclui 1 (que tem apenas um divisor) e 0 (que é divisível por tudo), então o menor primo é 2 — e é o único primo par, porque todos os outros números pares são divisíveis por 2.
Para verificar um número manualmente, você só precisa testar os divisores até sua raiz quadrada. Se nenhum número inteiro de 2 a √n divide n, então n é primo. É por isso que 97 precisa apenas de quatro divisões experimentais (2, 3, 5, 7) em vez de noventa e cinco.
Fatoração e a peneira
O teorema fundamental da aritmética garante que todo número inteiro acima de 1 é fatorado em números primos exatamente de uma maneira. A fatoração primária potencializa tudo, desde a redução de frações até a localização de mínimos múltiplos comuns. Esta ferramenta usa a divisão experimental para retirar o menor fator primo repetidamente até restar apenas 1.
Para encontrar todos os primos em um intervalo, o método clássico mais rápido é a peneira de Eratóstenes: liste os números, depois risque os múltiplos de 2, depois de 3, depois de 5 e assim por diante. Tudo o que sobrevive é primordial. Uma peneira segmentada aplica a mesma ideia apenas à janela solicitada, o que a mantém rápida mesmo em milhões de números.
Grandes números e criptografia
A divisão experimental é inútil quando os números aumentam — testar um número de 60 dígitos levaria mais tempo do que a idade do universo. Em vez disso, esta calculadora muda para o teste de Miller-Rabin, que usa exponenciação modular para decidir a primalidade em uma fração de segundo. Com um conjunto fixo de bases de testemunhas, o teste é provavelmente exato para cada número abaixo de 3,3 × 10²⁴.
Isso é importante porque números primos grandes são a base da criptografia de chave pública. A criptografia RSA multiplica dois números primos enormes para formar uma chave pública; sua segurança reside no fato de que fatorar o produto de volta a esses números primos é extraordinariamente difícil, embora testar a primalidade de um candidato seja fácil. A assimetria entre testes rápidos de primalidade e fatoração lenta é exatamente o que mantém o tráfego criptografado seguro.