A decomposição em frações parciais pega uma única expressão racional e a divide em uma soma de frações mais simples – o inverso de encontrar um denominador comum. Ela aparece constantemente em cálculo (integração de funções racionais), equações diferenciais (transformadas inversas de Laplace) e teoria de controle. Esta calculadora lida com os três casos que cada curso introdutório cobre: fatores lineares distintos, um fator linear repetido e um fator linear emparelhado com uma quadrática irredutível.
Por que decompor uma fração
Algumas operações são fáceis com a soma de frações simples, mas difíceis com uma fração complicada. Integrar 1/(x − 1) é uma regra de log de uma linha; integrar (3x + 5)/[(x + 1)(x + 2)] diretamente não é óbvio até que seja reescrito como 2/(x + 1) + 1/(x + 2), ponto em que são duas integrais logarítmicas fáceis somadas. O mesmo truque simplifica as transformadas inversas de Laplace e o trabalho de derivadas parciais em cursos de engenharia.
O método de encobrimento para raízes distintas
Quando cada fator denominador é um termo linear diferente (x − r), cada um obtém exatamente uma constante desconhecida. A maneira mais rápida de encontrá-lo é o método de encobrimento (Heaviside): multiplique a equação inteira por aquele único fator, que a cancela à esquerda e transforma todos os outros termos à direita em zero no momento em que você substitui x igual à raiz desse fator. O que resta é a constante, calculada diretamente – não é necessário nenhum sistema de equações.
Fatores quadráticos repetidos e irredutíveis precisam de mais termos
Um fator repetido (x - r)^k não obtém um termo - ele precisa de um termo separado para cada potência de 1 a k, porque uma única constante sobre (x - r)^k não pode reproduzir todos os graus possíveis do numerador abaixo de k. Da mesma forma, um fator quadrático irredutível (sem raízes reais) precisa de um numerador linear, Bx + C, em vez de uma constante simples, uma vez que uma constante por si só não pode corresponder a um numerador que varia com x. Se errar nas formas dos termos, nenhum conjunto de constantes fará com que a decomposição seja igual à expressão original.
Verificando seu trabalho
A maneira mais segura de detectar um deslize aritmético é inverter o processo: multiplicar a decomposição pelo denominador comum e confirmar se o numerador corresponde àquele com o qual você começou. A guia Verificar desta calculadora faz exatamente isso - tanto simbolicamente (recombinando os termos em um único polinômio) quanto numericamente (avaliando a expressão original e a decomposição no mesmo valor de x e comparando os resultados).