Um determinante condensa uma matriz quadrada inteira em um único número, e esse número responde a uma das questões mais úteis da álgebra linear: essa matriz tem uma inversa? Esta calculadora percorre o método de expansão de cofatores usado para calcular manualmente um determinante para uma matriz 2×2, 3×3 ou 4×4, mostrando cada termo assinado ao longo do caminho.

Como funciona a expansão do cofator

A expansão do cofator (Laplace) calcula um determinante escolhendo uma linha (esta calculadora sempre usa a linha 1) e, para cada entrada nessa linha, multiplicando-a pelo determinante de seu menor (a matriz deixada após a exclusão da linha e coluna dessa entrada), com sinais alternados começando em +. Para uma matriz 2×2, o processo se resume à fórmula única ad − bc. Para 3×3, cada uma das três entradas na linha 1 é multiplicada pelo determinante do seu menor 2×2. Para 4×4, cada uma das quatro entradas é multiplicada pelo determinante do seu menor 3×3, que a calculadora calcula diretamente. A soma dos termos assinados dá o determinante final.

O que significa um determinante zero

Um determinante de exatamente 0 significa que a matriz é singular: suas linhas (ou colunas) são linearmente dependentes — uma linha pode ser escrita como uma combinação das outras, então a matriz comprime o espaço em uma dimensão inferior em vez de esticá-lo em uma forma n-dimensional completa. Matrizes singulares não têm inversa, e se a matriz representa um sistema de equações lineares, esse sistema não tem solução alguma ou tem infinitas. Qualquer determinante diferente de zero, por outro lado, significa que a matriz é invertível - existe um inverso único A⁻¹ tal que A · A⁻¹ fornece a matriz identidade.

Lendo o padrão de sinal

Os sinais alternados + e - na expansão do cofator seguem um padrão quadriculado: o sinal do cofator para a linha i, coluna j é (-1) elevado à potência (i + j). Como esta calculadora sempre se expande ao longo da linha 1 (i = 1), os sinais simplesmente alternam +, −, +, − nas colunas. Esse padrão é o motivo pelo qual o termo médio de uma expansão 3×3 é sempre subtraído enquanto o primeiro e o terceiro são adicionados — não é arbitrário, cai diretamente fora da regra (−1)^(i+j).