Uma série de Fourier divide qualquer forma de onda periódica em uma soma de ondas senoidais e cosseno em múltiplos inteiros de uma frequência fundamental. Esta calculadora torna essa decomposição visível – mostrando quais harmônicos carregam mais energia, com que rapidez a aproximação converge e como são os coeficientes.
Por que a série de Fourier é importante
A análise de Fourier é a base matemática da compressão de áudio (MP3), codificação de imagem (JPEG), comunicações sem fio e análise sísmica. Cada vez que seu telefone processa uma chamada de voz, ele aplica uma versão rápida dessa decomposição para converter uma onda sonora em componentes de frequência que podem ser comprimidos e transmitidos de forma eficiente.
A ideia principal — que qualquer sinal periódico pode ser representado exatamente como uma soma de tons puros — não era óbvia quando Fourier a propôs em 1807. Hoje é um dos resultados mais importantes da matemática aplicada.
Como cada forma de onda se comporta
Onda quadrada: suas transições abruptas de ativação/desativação exigem um número infinito de harmônicos para serem representadas perfeitamente. Os coeficientes decaem lentamente até 1/n, e o fenômeno de Gibbs causa um overshoot de ≈8,9% perto de cada borda que nunca desaparece — apenas fica mais estreito à medida que N aumenta.
Onda dente de serra: semelhante ao quadrado: todos os harmônicos contribuem, os coeficientes decaem como 1/n, e o fenômeno de Gibbs aparece no ponto de reinicialização. É usado em sintetizadores para produzir tons brilhantes e vibrantes devido ao seu rico conteúdo harmônico.
Onda triangular: Como o triângulo é contínuo (apenas sua derivada tem saltos), seus coeficientes decaem para 1/n² — muito mais rápido. Um punhado de harmônicos produz uma excelente aproximação sem efeito Gibbs. Ondas triangulares são usadas para tons de sintetizador mais suaves.
Lendo a tabela de coeficientes
A tabela mostra aₙ (coeficiente cosseno) e bₙ (coeficiente seno) para cada harmônico. A coluna de amplitude — √(aₙ² + bₙ²) — informa quanta energia esse harmônico contribui para o sinal; a coluna de fase informa quando, dentro do período, o componente atinge o pico.
Para ondas quadradas e triangulares, você notará que todas as n linhas pares são zero. Isso ocorre porque ambas as ondas são simétricas ímpares (quadradas) ou simétricas pares (triângulo) em relação ao meio período, o que cancela todos os outros harmônicos por simetria.