Autovalores e autovetores descrevem as direções que uma matriz deixa inalteradas (além da escala) - um conceito que aparece em todos os lugares, desde análise de vibração e mecânica quântica até o algoritmo PageRank do Google e análise de componentes principais em estatísticas. Esta calculadora resolve ambos diretamente a partir de uma matriz 2×2 ou 3×3 inserida, mostrando o polinômio característico, os autovalores (reais ou complexos) e um autovetor unitário para cada um.

Como funciona o solucionador

A calculadora primeiro constrói o polinômio característico det(A − λI) a partir do traço e do determinante da matriz (e, para uma matriz 3×3, a soma de seus principais 2×2 menores). Para uma matriz 2×2 este polinômio é quadrático, resolvido diretamente com a fórmula quadrática. Para uma matriz 3×3 é cúbica, resolvida com o mesmo solucionador cúbico testado usado pela Calculadora de Equações Cúbicas – o polinômio característico de qualquer matriz 3×3 é, afinal, apenas uma equação cúbica em λ. Depois que os autovalores são conhecidos, a calculadora encontra um autovetor para cada um deles reduzindo as linhas (A - λI) para encontrar um vetor diferente de zero em seu espaço nulo e, em seguida, dimensiona esse vetor para comprimento unitário.

Por que os autovalores podem ser complexos - e o que significam os autovalores repetidos

Mesmo uma matriz construída inteiramente a partir de números reais pode ter autovalores complexos, sempre que girar o espaço, em vez de apenas esticá-lo ao longo de alguma direção real (a matriz de rotação de 90° nos exemplos acima é o caso mais limpo). Quando isso acontece, os autovalores complexos sempre chegam como um par conjugado, assim como as raízes complexas de um polinômio real. Separadamente, uma matriz pode ter um autovalor repetido – o mesmo λ satisfazendo a equação característica mais de uma vez. Se o autoespaço desse autovalor (o conjunto de todos os seus autovetores) tiver exatamente tantas dimensões quanto a contagem de repetições, a matriz ainda será diagonalizável. Se o autoespaço for mais estreito - apenas uma direção independente, embora o autovalor se repita duas ou três vezes - a matriz é chamada de defeituosa e a linha de interpretação da calculadora sinaliza esse caso especificamente.

Onde isso aparece na prática

Os autovalores medem o quanto uma matriz estende o espaço ao longo de suas direções de autovetor, e é por isso que eles aparecem em uma ampla gama de aplicações: as frequências naturais de vibração de uma estrutura são os autovalores de sua matriz de rigidez, o comportamento de longo prazo de uma cadeia de Markov é governado pelo autovetor vinculado ao seu maior autovalor, e a análise de componentes principais nas estatísticas classifica as direções em um conjunto de dados pelos autovalores de sua matriz de covariância. Em todos os casos, a mesma questão subjacente está sendo feita: quais direções esta matriz trata como “especiais” e em quanto ela dimensiona cada uma?