Uma equação cúbica, ax³ + bx² + cx + d = 0, sempre tem exatamente três raízes, uma vez que você conta raízes repetidas e raízes complexas - mas, diferentemente de uma quadrática, você nem sempre pode ver rapidamente se essas raízes são números reais que você pode representar em um gráfico ou números complexos que só existem no plano complexo. Esta calculadora resolve todas as três raízes diretamente e usa o discriminante para explicar, em linguagem simples, que tipo de raízes você está vendo.
Como funciona o solucionador
A calculadora primeiro substitui x = t − b/(3a) para remover o termo x², transformando a cúbica geral em uma cúbica "deprimida" mais simples t³ + pt + q = 0. A partir daí, o caminho depende do sinal de uma quantidade semelhante a um discriminante interno construída a partir de p e q: quando é negativa, a equação tem três raízes reais distintas, e a calculadora usa uma fórmula trigonométrica (construída a partir de arccos e cosseno) que permanece inteiramente dentro dos números reais. Quando é positiva, a equação tem uma raiz real e um par conjugado complexo, e a calculadora usa a fórmula de Cardano com uma função de raiz cúbica que lida corretamente com entradas negativas – evitando as armadilhas de seleção de ramificação que atrapalham implementações ingênuas da fórmula de Cardano neste caso. Quando é zero (ou muito próximo disso), a equação tem uma raiz real repetida, que a calculadora detecta e rotula como raiz dupla ou raiz tripla.
Lendo o discriminante
O discriminante, Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d², é calculado diretamente a partir dos quatro coeficientes — não há necessidade de resolver a equação primeiro. Só o seu sinal indica a natureza das raízes: Δ > 0 significa três raízes reais distintas (o gráfico da equação cruza o eixo x três vezes distintas); Δ = 0 significa que pelo menos duas das raízes coincidem (o gráfico toca o eixo x sem cruzar nesse ponto); Δ <0 significa que apenas uma raiz é real e as outras duas formam um par conjugado complexo (o gráfico cruza o eixo x exatamente uma vez). Isso reflete o discriminante b² − 4ac mais familiar da fórmula quadrática, apenas estendido a mais um grau.
Por que raízes complexas sempre vêm em pares e o que significa a = 0
Sempre que uma equação cúbica tem coeficientes reais (a, b, c e d são todos números reais ordinários, e não complexos), é garantido que quaisquer raízes complexas que ela tenha ocorram em pares conjugados - a + bi e a - bi - porque as partes imaginárias precisam ser canceladas para que o polinômio seja avaliado como uma equação de coeficiente real. É por isso que esta calculadora, e todo solucionador cúbico correto, relata apenas 0 ou 2 raízes complexas, nunca 1. Separadamente, se você inserir a = 0, o termo x³ desaparece e a equação não é mais uma cúbica verdadeira - é quadrática, bx² + cx + d = 0, então a calculadora volta automaticamente para a fórmula quadrática (e posteriormente para um solucionador linear se b também for 0) em vez de dividir por zero.