Um número complexo estende a reta numérica real com um segundo eixo perpendicular para múltiplos de i, a unidade imaginária onde i² = −1. Este guia aborda as quatro operações aritméticas, por que o conjugado torna a divisão possível, como o módulo e o argumento descrevem a forma polar de um número complexo e como o teorema de De Moivre transforma potências e raízes em aritmética de ângulo simples.

Por que eu existo e o que significa a + bi

Os números reais por si só não podem resolver uma equação como x² = −1, porque elevar ao quadrado qualquer número real dá um resultado não negativo. Os matemáticos resolveram isso definindo um novo número, i, com a propriedade i² = −1. Um número complexo a + bi combina então uma parte real ordinária a com uma parte imaginária b, um múltiplo de i.

Geometricamente, cada número complexo corresponde a um ponto (a, b) num plano bidimensional - a parte real ao longo do eixo horizontal, a parte imaginária ao longo do eixo vertical. Isso é chamado de plano de Argand (ou plano complexo) e transforma a álgebra de números complexos em geometria: a adição se torna uma adição vetorial e a multiplicação se torna uma escala mais rotação.

Aritmética: somar, subtrair, multiplicar, dividir

A adição e a subtração funcionam em termos de componentes — combinam as partes reais e depois as partes imaginárias, sem interação entre as duas. Multiplicação é a expansão FOIL seguida pela simplificação com i² = −1: os termos cruzados tornam-se a nova parte imaginária, e o termo i·i transforma o sinal na parte real.

Divisão é a única operação que precisa de um truque: você não pode racionalizar um denominador complexo da mesma forma que faria com uma raiz quadrada, então, em vez disso, você multiplica o topo e o fundo pelo conjugado do denominador. Como z·conj(z) = |z|², o denominador torna-se um número real simples e a divisão se reduz a duas divisões reais ordinárias. Dividir por 0 + 0i é indefinido pela mesma razão que dividir por 0 é indefinido na linha real — esta calculadora sinaliza explicitamente em vez de mostrar um resultado quebrado.

Módulo, argumento e forma polar

Cada número complexo tem duas descrições úteis além de + bi. O módulo |z| = √(a² + b²) é a sua distância da origem - literalmente o teorema de Pitágoras aplicado ao ponto (a, b). O argumento é o ângulo que o ponto faz com o eixo real positivo, calculado com atan2(b, a) para que cada quadrante (e os eixos) sejam resolvidos corretamente em vez de serem divididos por zero.

Juntos, módulo e argumento fornecem a forma polar r∠θ — uma maneira equivalente de escrever o mesmo número. A forma polar costuma ser mais conveniente do que a + bi: multiplicar dois números complexos na forma polar apenas multiplica seus módulos e adiciona seus argumentos, o que é muito mais simples do que a expansão FOIL na forma retangular.

Teorema de De Moivre: potências e raízes simplificadas

Multiplicar repetidamente um número complexo por si mesmo normalmente significaria repetidas expansões FOIL. O teorema de De Moivre abrevia isto: na forma polar, z^n = r^n(cos nθ + i sin nθ) - aumente o módulo à enésima potência e multiplique o argumento por n. Quadrar 1 + i (módulo √2, argumento 45°) desta forma dá o módulo 2 e o argumento 90°, ou seja, 2i, correspondendo à expansão direta. Encontrar uma n-ésima raiz inverte o processo, com uma diferença: como os ângulos se repetem a cada 2π (360°), existem exatamente n raízes distintas, espaçadas uniformemente em torno de um círculo de raio r^(1/n). Cada um satisfaz root^n = z. É por isso que, por exemplo, a equação x³ = 1 tem três soluções complexas, não apenas uma — a raiz real 1, mais duas raízes complexas simétricas em relação ao eixo real.