Completar o quadrado converte uma quadrática da forma padrão (ax² + bx + c) na forma de vértice (a(x − h)² + k), revelando instantaneamente o vértice da parábola sem representar graficamente ou usar a fórmula quadrática. É também a técnica usada para derivar a própria fórmula quadrática.

Como funciona o preenchimento do quadrado

Comece com ax² + bx + c. Se a = 1, agrupe os termos x² ex, pegue metade do coeficiente x e eleve ao quadrado - esse quadrado é exatamente o que é necessário para transformar o grupo em um trinômio quadrado perfeito. Adicione e subtraia para que o valor da expressão não mude, então reescreva o quadrado perfeito como (x − h)² e combine as constantes restantes em k.

Se a ≠ 1, fatore a dos dois primeiros termos antes de completar o quadrado entre parênteses e, em seguida, distribua um retorno sobre a constante que será subtraída. As fórmulas h = −b/(2a) e k = c − b²/(4a) fornecem o mesmo resultado diretamente, sem escrever cada passo da álgebra à mão.

Entradas e o que elas significam

Insira a, b e c exatamente como aparecem no quadrático ax² + bx + c. a é o coeficiente principal e não pode ser 0 — um valor 0 tornaria a expressão linear, sem nenhum quadrado para completar. b é o coeficiente de x e c é o termo constante. Todos os três podem ser números positivos, negativos, decimais ou inteiros.

As duas saídas, h e k, juntas formam o vértice (h, k). h informa o eixo de simetria da parábola (x = h) e k informa o valor mínimo ou máximo que a quadrática pode assumir.

Limites e casos extremos

Esta calculadora lida com coeficientes de números reais para um quadrático padrão; ele não resolve raízes complexas nem trata quadráticas em mais de uma variável. Quando a está muito próximo de 0 (mas não exatamente 0), h e k podem se tornar extremamente grandes, já que ambas as fórmulas se dividem por a — verifique novamente seus coeficientes se o resultado parecer inesperadamente enorme.

Completar o quadrado está intimamente relacionado à resolução de equações quadráticas: definir a forma do vértice igual a 0 e resolver x é exatamente como a própria fórmula quadrática é derivada. Se você precisar das raízes de ax² + bx + c = 0 em vez da forma do vértice, use a Calculadora de Fórmula Quadrática.