Calculadora de preços de opções Black-Scholes (EUA)

S = preço subjacente, K = exercício, T = tempo até o vencimento em anos, r = taxa livre de risco, σ = volatilidade implícita. d1 e d2 padronizam o valor monetário da opção para a distribuição normal.

N(·) é o CDF normal padrão. O preço da opção de compra é o retorno esperado (S·N(d1)) menos o exercício com desconto (K·e^(−rT)·N(d2)).

Delta é por movimento de US$ 1 em S. Gama é a curvatura de Delta. Vega é relatado por variação de 1% no volume (Vega anual ÷ 100). Theta é por dia (Theta anual ÷ 365). Rho é por variação de 1% na taxa (Rho anual ÷ 100).

Autor: Quinn Sumner - Editor

Responsável editorial: Quinn Sumner - Editorial owner

Revisor: Calculover Editorial Review - Quantitative methodology, source verification, and limitation review

Última revisão: 2026-05-16

Última verificação: 2026-05-16

Dados vigentes: 2026-05-16

A Calculadora de preços de opções Black-Scholes aplica a fórmula europeia Black-Scholes-Merton (BSM) de forma fechada (Black & Scholes, 1973; Merton, 1973) para opções de compra e venda: Call = S·N(d1) − K·e^(−rT)·N(d2); Put = K·e^(−rT)·N(−d2) − S·N(−d1), com d1 = [ln(S/K) + (r + σ²/2)·T] / (σ·√T) e d2 = d1 − σ·√T. A implementação assume uma taxa livre de risco composta continuamente (r), volatilidade constante (σ), negociação contínua e rendimento de dividendos contínuo zero - a extensão de dividendos (q > 0) NÃO é modelada. A função de distribuição cumulativa normal padrão N(·) é aproximada através da fórmula 7.1.26 de Abramowitz & Stegun (aproximação polinomial racional de Hart, erro máximo ~7,5×10⁻⁸ através da linha real). Os gregos são calculados analiticamente a partir da mesma árvore de fórmulas por Hull, Options, Futures, and Other Derivatives 11e, Ch. 19: Delta_call = N(d1), Delta_put = N(d1) − 1, Gama = φ(d1) / (S·σ·√T), Vega_anual = S·φ(d1)·√T, Theta_call_annual = −S·φ(d1)·σ / (2·√T) − r·K·e^(−rT)·N(d2), Rho_call_annual = K·T·e^(−rT)·N(d2). Theta é redimensionado para por dia corrido (anual ÷ 365), Vega e Rho para por 1 ponto percentual (anual ÷ 100). Casos extremos: quando σ·√T ≤ 0, a calculadora retorna o max(S − K·e^(−rT), 0) intrínseco direto determinístico para opções de compra (e a expressão simétrica para opções de venda) com Delta de 1 ou 0 (call) / −1 ou 0 (put) e zero gregos superiores. A resolução de volatilidade implícita NÃO é implementada – o usuário insere σ diretamente. A comparação de cenários ITM / ATM / OTM avalia a mesma fórmula BSM em S = K·1,10, K e K·0,90 (opções de compra; invertidas para opções de venda), mantendo K, T, σ e r constantes, de modo que o trade-off seja puramente metodológico, em vez de ruído de entrada.

Premissa: As entradas são os valores que o usuário insere; a calculadora não recupera cotações em tempo real, rendimentos de dividendos ou taxas livres de risco correspondentes à estrutura de prazos.

Premissa: Exercício de estilo europeu (apenas no vencimento). O prémio de exercício antecipado ao estilo americano não é modelado – o preço do BSM é um limite inferior para opções de compra americanas sobre ações que não pagam dividendos e um limite menos restrito para opções de venda americanas (que têm um valor de exercício antecipado significativo).

Premissa: Taxa livre de risco composta continuamente r e volatilidade constante σ ao longo da vida da opção. Sem rendimento de dividendos (q = 0). Sem custos de transação, sem spread de compra e venda, sem custo de financiamento.

Premissa: Theta é relatado por dia corrido (anual ÷ 365), não por dia de negociação. Vega é por 1 ponto percentual da volatilidade implícita. Rho é por 1 ponto percentual da taxa livre de risco.

Premissa: Espera-se que a taxa livre de risco r seja o rendimento composto continuamente correspondente a T (rendimento nominal do Tesouro para o prazo de vencimento); a calculadora não converte entre composição simples, semestral e contínua.

Premissa: As referências e os pressupostos seguem as regras dos Estados Unidos.

Os mercados de opções reais exibem sorrisos de volatilidade, distorções e estrutura de prazos que Black-Scholes não capta. As opções de venda fora do dinheiro (proteção contra colisões) e as opções de ciclo de ganhos são negociadas consistentemente mais ricas do que o BSM.

As opções de estilo americano – a maioria das opções de ações dos EUA – podem valer materialmente mais do que o preço europeu do BSM, especialmente opções de venda deep ITM e opções de compra pré-dividendos. Para preços americanos, use uma árvore binomial ou grade de diferenças finitas.

O BSM assume retornos log-normais; as distribuições de retorno real têm caudas grossas e lacunas. Os modelos de difusão de salto (Merton 1976) ou volatilidade estocástica (Heston 1993) abordam parte disso.

O resultado é um valor justo teórico, não uma cotação – oferta/venda, liquidez, posicionamento do revendedor e oferta/demanda podem afastar os preços reais de mercado vários por cento do preço do BSM.

A suposição sem dividendos significa que a calculadora exagera os preços de compra e subestima os preços de venda para ações que pagam dividendos. Para SPX, NDX, RUT e a maioria dos nomes de grande capitalização, use externamente a extensão de Merton (1973) ajustada ao rendimento de dividendos ou subtraia o valor presente dos dividendos esperados de S antes do preço.

O BSM subvaloriza sistematicamente as opções de venda OTM (a "distorção de volatilidade") e pode produzir valor temporal negativo para opções de venda europeias com deep ITM - ambos bem documentados na literatura académica. Para opções de índices de ações, use superfícies IV publicadas na bolsa ou volumes implícitos fornecidos pelo corretor, em vez de um único número BSM de volume fixo.

Os resultados são valores teóricos produzidos apenas para fins educacionais e analíticos. Não constituem aconselhamento financeiro, uma solicitação de compra ou venda de valores mobiliários ou derivativos, nem uma garantia de desempenho futuro. A negociação de opções envolve risco substancial de perda, incluindo a perda potencial de todo o prêmio pago por uma opção longa. Os requisitos de margem aplicam-se às opções curtas. A volatilidade passada não é um preditor confiável da volatilidade futura. Consulte um profissional financeiro qualificado e registrado ou um especialista em opções antes de tomar qualquer decisão de investimento.

Esta ferramenta não substitui regras ou obrigações brasileiras.

Orientação profissional: A Calculadora de preços de opções Black-Scholes destina-se apenas ao ensino de opções de matemática. Não se trata de aconselhamento de investimento, fiscal, jurídico ou financeiro. As opções envolvem riscos substanciais, incluindo perda total de prémio para posições longas e perdas teoricamente ilimitadas para algumas posições curtas. Consulte um consultor de investimentos registrado ou corretor licenciado antes de negociar opções.

Investor Bulletin: An Introduction to Options - Investor.gov (SEC)

Options: Essential Concepts and Trading Strategies - OCC — The Options Clearing Corporation

Black-Scholes-Merton model coverage in CFA Program Level II — Derivatives - CFA Institute

VIX White Paper — Implied Volatility Methodology - Cboe Global Markets

Selected Interest Rates (H.15) — Treasury Constant Maturity rates used as the risk-free rate input - Federal Reserve Board

Abramowitz & Stegun, Handbook of Mathematical Functions, formula 7.1.26 (normal CDF approximation) - U.S. National Bureau of Standards (now NIST)