Introduce a, b y c

Escribe los tres coeficientes a, b y c en los campos correspondientes (o toca un ejemplo predefinido para una prueba rápida — recuerda que a no puede ser cero).

2

Lee los Resultados

Revisa el indicador del discriminante para conocer el tipo de raíces, ambas raíces simplificadas y las estadísticas secundarias de vértice, eje de simetría e intercepto en y.

3

Visualiza la Parábola

Examina el gráfico de la parábola con las raíces, el vértice y el eje de simetría etiquetados, y activa «Mostrar solución paso a paso» para ver los 5 pasos de la resolución.

4

Aprende con la Pestaña Lección

Recorre la derivación personalizada en la pestaña Lección y visita el Explorador de Parábolas para ver cómo cada coeficiente transforma la curva.

Fórmula cuadrática

x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a)

Resuelve ax² + bx + c = 0 para x; a, b, c son los coeficientes del polinomio. El signo ± produce hasta dos soluciones para las raíces de la ecuación.

Discriminante

Δ = b² − 4ac

El valor bajo el signo de raíz cuadrada. Un Δ positivo da dos raíces reales distintas, Δ = 0 da una raíz doble, y un Δ negativo da dos raíces complejas conjugadas.

Coordenadas del vértice

Vértice (h, k): h = −b / (2a); k = a·h² + b·h + c

El vértice es el punto de inflexión de la parábola — mínimo cuando a > 0 (se abre hacia arriba) o máximo cuando a < 0 (se abre hacia abajo). El eje de simetría es x = h.

Discriminante El valor b²−4ac que determina el número y el tipo de raíces. Positivo → dos raíces reales; cero → una raíz doble; negativo → dos raíces complejas.

Raíces / Ceros Los valores de x que satisfacen ax²+bx+c=0. Geométricamente, son los interceptos con el eje x de la parábola (cuando son reales).

Vértice El punto de inflexión de la parábola. Es el mínimo cuando a>0 (se abre hacia arriba) y el máximo cuando a<0 (se abre hacia abajo).

Eje de Simetría La línea vertical x = −b/(2a) que pasa por el vértice y divide la parábola en dos imágenes especulares.

Parábola La curva en forma de U descrita por una función cuadrática. Es simétrica respecto a su eje de simetría y tiene un único vértice.

Número Complejo Un número de la forma a + bi donde i = √(−1). Las raíces complejas siempre aparecen en pares conjugados (a+bi y a−bi) para ecuaciones con coeficientes reales.

x²

x² − 5x + 6 = 0

Dos Raíces Reales Distintas

Discriminant Δ = 25 − 24 = 1

x₁ = (5 + 1) / 2 = 3 y x₂ = (5 − 1) / 2 = 2. Vértice en (2,5; −0,25). La parábola corta el eje x en x = 2 y x = 3.

x²

x² − 2x + 1 = 0

Raíz Doble

Discriminant Δ = 4 − 4 = 0

x = 2 / 2 = 1 (raíz doble). Se trata de un trinomio cuadrado perfecto: (x−1)² = 0. La parábola toca el eje x en un único punto: su vértice (1, 0).

x²

x² + x + 1 = 0

Dos Raíces Complejas

Discriminant Δ = 1 − 4 = −3

x = −1/2 ± (√3/2)i. Como Δ < 0, la parábola no tiene interceptos reales con el eje x — flota completamente por encima de él. Las raíces complejas conjugadas son ≈ −0,5 ± 0,866i.

Las ecuaciones cuadráticas (polinomios de la forma ax² + bx + c = 0) aparecen en física, ingeniería, economía y matemáticas aplicadas porque describen el comportamiento de sistemas con aceleración constante, trayectorias parabólicas, cantidades maximizadas o minimizadas y relaciones de inversa cuadrática. La fórmula cuadrática las resuelve todas de forma cerrada, por lo que es una de las ecuaciones más memorizadas en los planes de estudio de matemáticas de secundaria en todo el mundo.

Movimiento Proyectil

Cuando lanzas una pelota hacia arriba, su altura h(t) en el tiempo t sigue la ecuación cuadrática h(t) = −½gt² + v₀t + h₀, donde g es la aceleración gravitacional (9,81 m/s² en la Tierra), v₀ es la velocidad inicial ascendente y h₀ es la altura de partida. Resolver h(t) = 0 con la fórmula cuadrática da los instantes en que la pelota toca el suelo — frecuentemente dos soluciones donde la negativa es físicamente irrelevante (tiempo anterior al lanzamiento) y la positiva es la duración real del vuelo.

Los ingenieros usan esta ecuación en balística, ciencias del deporte, planificación de trayectorias de cohetes y control de vuelo de drones. El vértice proporciona la altura máxima alcanzada, útil para cálculos de paso sobre obstáculos. La fórmula cuadrática se aplica también a la trayectoria bidimensional para obtener tiempo de vuelo, alcance y altura en el ápice.

Optimización de Beneficios Empresariales

Las funciones de ingresos y costes en economía suelen ser cuadráticas porque las decisiones de precios interactúan con la demanda de forma que producen curvas de beneficio parabólicas. Si la empresa fija el precio p y la demanda es Q = 100 − 2p, entonces los ingresos R = p·Q = 100p − 2p² — una parábola abierta hacia abajo. Encontrar el precio que maximiza el beneficio equivale a hallar el vértice de la parábola.

La fórmula cuadrática también sirve para encontrar los puntos de equilibrio donde el beneficio = 0: se iguala ingresos menos costes a cero y se resuelve para la cantidad o el precio de equilibrio. Este análisis impulsa la estrategia de precios y la planificación de producción en manufactura y servicios.

Física e Ingeniería

Las ecuaciones cuadráticas aparecen en física e ingeniería en formas que exigen soluciones rápidas y precisas. La disipación de potencia eléctrica (P = I²R) crea una relación cuadrática entre la corriente y la potencia, usada para dimensionar conductores y disipadores de calor. Las fórmulas de lentes en óptica relacionan distancia focal, distancia al objeto y distancia a la imagen en formas cuadráticas que resuelven posiciones de imagen en diseño de cámaras y telescopios.

En ingeniería estructural, la forma de arcos y cables de puentes colgantes bajo carga uniforme sigue ecuaciones parabólicas, y los cálculos de carga requieren resolver desigualdades cuadráticas para garantizar márgenes de seguridad. La fórmula cuadrática combina solubilidad de forma cerrada y aplicabilidad generalizada, haciéndola una de las ecuaciones de mayor rendimiento en cualquier plan de estudios de ingeniería.

¿Qué es la fórmula cuadrática?+

x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a). Resuelve cualquier ecuación de la forma ax²+bx+c=0 para los valores de x. El símbolo ± indica que hay dos soluciones: una con + y otra con −.

¿Qué es el discriminante y qué me indica?+

Δ = b²−4ac. Si Δ > 0 hay dos raíces reales distintas (la parábola corta el eje x dos veces). Si Δ = 0 hay una raíz doble (la parábola solo toca el eje x). Si Δ < 0 hay dos raíces complejas (sin interceptos reales con el eje x).

¿Qué son las raíces complejas y cómo las interpreto?+

Las raíces complejas tienen la forma a ± bi donde i = √(−1). Significan que la parábola nunca cruza el eje x — está completamente por encima (si a > 0) o por debajo (si a < 0). Las raíces complejas siempre aparecen en pares conjugados para ecuaciones con coeficientes reales.

¿Cómo se calcula el vértice?+

La coordenada x del vértice es h = −b/(2a). Sustituyendo: k = a·h²+b·h+c. Esto da el punto de inflexión (h, k). Cuando a > 0 el vértice es el mínimo; cuando a < 0 es el máximo.

¿Cuándo usar la fórmula cuadrática en lugar de factorizar?+

Factorizar es más rápido cuando existen raíces enteras (el discriminante es un cuadrado perfecto y los coeficientes son pequeños). Usa la fórmula cuadrática para coeficientes decimales, números grandes o cuando necesites raíces complejas. La fórmula siempre funciona independientemente del tipo de raíz.

¿Por qué a no puede ser cero?+

Si a = 0 la ecuación se convierte en bx+c = 0 — una ecuación lineal, no cuadrática. El término ax² desaparece y la fórmula cuadrática implica dividir entre 2a = 0, lo cual no está definido. Las ecuaciones lineales tienen como máximo una solución y se resuelven de forma diferente.

¿Qué es la forma vértice y cómo convierto a ella?+

La forma vértice es a(x−h)²+k. Calcula h = −b/(2a) y k = a·h²+b·h+c, luego sustitúyelos. Por ejemplo, x²−4x+3 → h = 2, k = −1, así que la forma vértice es (x−2)²−1.

¿Qué muestra el gráfico?+

El gráfico de la parábola marca las raíces reales como puntos cian en el eje x, el vértice como un punto dorado y el intercepto en y como un punto turquesa. La línea vertical discontinua es el eje de simetría en x = −b/(2a). Para ecuaciones con raíces complejas, la parábola no toca el eje x.

¿Puedo resolver ecuaciones con coeficientes no enteros?+

Sí. Introduce decimales directamente (por ejemplo, a = 1,5; b = −2,7; c = 0,3). La calculadora maneja cualquier coeficiente real y muestra las raíces como fracciones simplificadas cuando es posible, o como decimales en caso contrario.

¿Qué es el eje de simetría?+

La línea vertical x = −b/(2a) que divide la parábola en dos imágenes especulares. Cada parábola tiene exactamente un eje de simetría, y siempre pasa por el vértice.

Quadratic Formula Calculator

Step-by-Step Solution

Identify a, b, and c

Calculate the discriminant Δ = b²−4ac

Apply + case: (−b + √Δ) / 2a

Apply − case: (−b − √Δ) / 2a

Final Roots

Adjust Coefficients

Coefficient a

Coefficient b

Coefficient c

How to Use This Calculator

Introduce a, b y c

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Aprende con la Pestaña Lección

Formula & Methodology

Key Terms Explained

Real-World Examples

x² − 5x + 6 = 0

x² − 2x + 1 = 0

x² + x + 1 = 0

Las Ecuaciones Cuadráticas en el Mundo Real

Movimiento Proyectil

Optimización de Beneficios Empresariales

Física e Ingeniería

Frequently Asked Questions

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Calculate the discriminant Δ = b²−4ac

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