Calculez les contraintes principales, le cisaillement maximal et l’angle principal à partir d’un état de contrainte plane en 2D (σx, σy, τxy), selon la transformation représentée graphiquement par le cercle de Mohr.
2D Stress State
Enter the normal stresses σx and σy and the shear stress τxy for the stress element. All three values can be positive (tension) or negative (compression / reversed shear).
Contrainte normale agissant sur la face x de l’élément, en mégapascals.
Contrainte normale agissant sur la face y de l’élément, en mégapascals.
Contrainte de cisaillement agissant sur la face x dans la direction y, en mégapascals.
Default example: σx = 100 MPa, σy = 20 MPa, τxy = 30 MPa — giving principal stresses of about 110 MPa and 10 MPa.
Result
—
Enter σx, σy, and τxy to compute Mohr's circle.
σ1 (max.)—
σ2 (min.)—
τmax—
θp—
Stress on Any Plane
Use the slider to inspect the normal and shear stress on a plane rotated counterclockwise from the +x axis.
À θp, la contrainte de cisaillement est nulle et la contrainte normale est σ1.
Le cercle de Mohr est l’outil graphique classique de transformation des contraintes.
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Étapes
Comment utiliser cette calculatrice
4 étapes▸
1
Saisissez l’état de contrainte en 2D
Saisissez les contraintes normales σx et σy, ainsi que la contrainte de cisaillement τxy de l’élément, en mégapascals. Ces trois valeurs peuvent être positives ou négatives ; le calculateur se met à jour à mesure de la saisie.
2
Consultez les contraintes principales
L’onglet « Contraintes principales » met en avant σ1 (la contrainte principale maximale) et σ2 (la minimale). La grille de statistiques affiche toujours ensemble les quatre valeurs calculées : σ1, σ2, τmax et θp.
3
Vérifiez la contrainte de cisaillement maximale
Passez à l’onglet « Cisaillement maximal » pour afficher τmax, la contrainte de cisaillement la plus élevée que l’élément subit dans n’importe quel plan. Elle est égale au rayon du cercle de Mohr.
4
Déterminez l’angle principal
Passez à l’onglet « Angle principal » pour afficher θp, l’angle de rotation (en degrés depuis l’axe x) auquel l’élément ne subit qu’une contrainte normale et aucune contrainte de cisaillement.
Le cercle de Mohr représente tous les couples possibles de contraintes normale et de cisaillement (σ, τ) ressentis par un élément lorsque celui-ci tourne sur 360°, sous la forme d’un cercle dans l’espace σ-τ. Son centre se trouve sur l’axe σ, à la moyenne des deux contraintes normales ; son rayon est la distance entre ce centre et le point (σx, τxy), calculée avec la formule de type pythagoricienne ci-dessus.
Contraintes principales, cisaillement maximal et angle principal
Les contraintes principales σ1 (maximale) et σ2 (minimale) correspondent aux points où le cercle coupe l’axe σ — le centre plus ou moins le rayon — et indiquent les orientations où la contrainte de cisaillement est nulle. Le rayon est la contrainte de cisaillement maximale dans le plan, τmax. L’angle principal θp correspond à la moitié de l’angle (mesuré sur le cercle) entre le point σx et le point de contrainte principale le plus proche ; il donne la rotation physique nécessaire pour aligner l’élément sur ses axes principaux.
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Glossaire
Termes clés expliqués
7 termes▸
Cercle de MohrMéthode graphique permettant de visualiser la variation des contraintes normales et de cisaillement en un point lorsque l’élément est tourné. Chaque couple possible (σ, τ) décrit un cercle dans l’espace des contraintes, centré sur l’axe σ.
Contrainte principaleContrainte normale (σ1 maximale, σ2 minimale) qui agit sur un plan où la contrainte de cisaillement est exactement nulle. Tout état de contrainte 2D possède deux contraintes principales, séparées de 90°.
Contrainte de cisaillement maximale (τmax)Contrainte de cisaillement la plus élevée que l’élément subit, quel que soit l’angle de rotation. Elle est égale au rayon du cercle de Mohr et apparaît à 45° des plans principaux.
Angle principal (θp)Angle de rotation mesuré depuis l’axe x auquel l’élément s’aligne sur ses plans principaux : la contrainte normale est alors maximale ou minimale et la contrainte de cisaillement est nulle.
Transformation des contraintesCalcul des contraintes normale et de cisaillement sur un plan d’orientation quelconque à partir d’un état connu (σx, σy, τxy). Le cercle de Mohr permet d’effectuer cette transformation graphiquement.
Contrainte normale (σ)Contrainte qui agit perpendiculairement à une surface : elle l’étire en traction (valeur positive) ou la comprime (valeur négative). σx et σy sont les contraintes normales sur les faces x et y de l’élément.
Contrainte de cisaillement (τ)Contrainte qui agit parallèlement à une surface et fait glisser une couche de matériau par rapport à une autre. τxy est la contrainte de cisaillement sur la face x, dirigée selon y ; par symétrie, elle est égale à la contrainte sur la face y dirigée selon x.
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Situations types
Exemples concrets
3 exemples▸
🔩
Ingénieur en conception mécanique
Vérification des contraintes principales sur une équerre chargée
Centre = (100+20)/2 = 60 MPa, rayon = √(40² + 30²) = 50 MPa. Ainsi, σ1 = 60+50 = 110 MPa, σ2 = 60−50 = 10 MPa, τmax = 50 MPa et θp ≈ 18.43°. La contrainte normale maximale dans l’équerre est de 110 MPa : c’est cette valeur qu’il faut comparer à la limite d’élasticité du matériau.
🏗️
Ingénieur en structures
Dimensionnement d’une soudure selon le cisaillement maximal plutôt que la contrainte normale
Comme σy est négative (compression), le centre vaut 30 MPa et le rayon √(50² + 40²) ≈ 64.03 MPa, donc τmax ≈ 64.03 MPa dans l’onglet « Cisaillement maximal ». Les soudures cédant souvent d’abord en cisaillement, cette valeur — et non σ1 — constitue ici le critère de dimensionnement déterminant.
🧪
Chercheur en matériaux orientant une jauge de déformation
Détermination de l’angle de rotation pour mesurer une contrainte principale
Puisque σx = σy et τxy = 0, l’élément est déjà dans un état principal (rayon = 0) : σ1 = σ2 = 50 MPa et θp vaut 0°, aucune rotation n’est donc nécessaire pour trouver une orientation sans cisaillement. Il s’agit du cas dégénéré où le cercle de Mohr se réduit à un point.
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Référence
Citer cette calculatrice
APA et MLA▸
Utilisez un de ces formats pour citer cette calculatrice dans un devoir ou un rapport.
Le cercle de Mohr est l’outil graphique classique de transformation des contraintes. Au lieu de redériver les équations à chaque fois qu’il faut déterminer les contraintes normales et de cisaillement sur un plan tourné, on trace un cercle et on lit le résultat à partir de sa géométrie. Ce calculateur effectue le même calcul numériquement et renvoie les contraintes principales, la contrainte de cisaillement maximale et l’angle principal à partir de σx, σy et τxy.
Comment le cercle représente toutes les orientations possibles
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Un état de contrainte 2D est décrit par trois valeurs : les contraintes normales sur deux faces perpendiculaires (σx, σy) et la contrainte de cisaillement entre elles (τxy). Lorsque l’on imagine l’élément tourné, les contraintes normale et de cisaillement sur ses faces décrivent un cercle dans l’espace σ-τ : le cercle de Mohr. Son centre est situé en (σx + σy)/2 sur l’axe σ et son rayon vaut √(((σx − σy)/2)² + τxy²). Chaque point du cercle représente un couple valide (σ, τ) pour un angle de rotation donné. Le cercle contient donc toutes les données nécessaires à la transformation des contraintes, sans devoir refaire les calculs trigonométriques à la main.
Pourquoi les contraintes principales sont importantes
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Les deux points où le cercle coupe l’axe σ — σ1 (maximale) et σ2 (minimale) — sont les contraintes principales : les contraintes normales dans l’orientation où le cisaillement est nul. Ce sont généralement les valeurs comparées à la limite d’élasticité ou à la résistance ultime d’un matériau dans une vérification de défaillance, car un matériau cède souvent sous la contrainte normale la plus élevée, quelle que soit sa direction dans le repère x-y initial. Consultez le calculateur de contrainte de von Mises associé pour combiner les contraintes principales en un critère unique de contrainte équivalente.
Cisaillement maximal et angle principal
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Le rayon du cercle correspond aussi à la contrainte de cisaillement maximale dans le plan, τmax. Elle apparaît à 45° des plans principaux, en haut et en bas du cercle. L’angle principal θp est la rotation physique, mesurée depuis l’axe x, qui aligne l’élément sur ses plans principaux. De nombreux modes de défaillance — soudures, assemblages collés, plastification des matériaux ductiles — sont gouvernés par le cisaillement plutôt que par la contrainte normale. Selon le matériau et le mode de défaillance étudiés, τmax peut donc être la valeur la plus importante. Pour le cas plus simple d’une force unique, consultez le calculateur de contrainte de cisaillement.
Limites de ce modèle 2D
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Ce calculateur traite l’état de contrainte plane (2D), fréquent pour les plaques minces, les coques et l’analyse des contraintes en surface lorsque la contrainte hors plan est nulle ou négligeable. Un état général de contrainte 3D possède trois contraintes principales ; il faut trois cercles de Mohr (ou une analyse complète des valeurs propres) pour le caractériser entièrement. Pour une vérification uniaxiale ou biaxiale sans cisaillement, consultez le calculateur de contrainte ; pour le critère de défaillance 3D complet, utilisez le mode par composantes du calculateur de contrainte de von Mises.
❓
Questions
Questions fréquentes
6 questions▸
Quelle est la formule du cercle de Mohr ?+
Le cercle est centré en (σx + σy)/2 et son rayon vaut √(((σx − σy)/2)² + τxy²). Les contraintes principales sont σ1 = centre + rayon et σ2 = centre − rayon ; la contrainte de cisaillement maximale est égale au rayon, et l’angle principal est θp = ½·atan2(2τxy, σx − σy).
Comment déterminer la contrainte de cisaillement maximale ?+
La contrainte de cisaillement maximale est égale au rayon du cercle de Mohr : τmax = √(((σx − σy)/2)² + τxy²). Elle est affichée dans l’onglet « Cisaillement maximal » ; la grille de statistiques rappelle aussi les contraintes principales et l’angle.
Que signifie concrètement l’angle principal ?+
L’angle principal θp est la rotation, en degrés depuis l’axe x, qui oriente l’élément de sorte que la contrainte de cisaillement soit nulle et que la contrainte normale atteigne sa valeur maximale ou minimale (principale). Il est calculé comme la moitié de l’angle jusqu’au point τxy du cercle : θp = ½·atan2(2τxy, σx − σy).
Ce calculateur prend-il en charge les états de contrainte 3D ?+
Non. Il s’agit d’un cercle de Mohr 2D (contrainte plane), adapté aux plaques minces, aux coques et à l’analyse des contraintes en surface lorsque la contrainte hors plan est négligeable. Un état de contrainte 3D complet nécessite trois contraintes principales et une analyse plus générale des valeurs propres.
Quelles unités le calculateur utilise-t-il ?+
Les trois entrées (σx, σy, τxy) et les trois sorties de contrainte (σ1, σ2, τmax) sont exprimées en mégapascals (MPa), et l’angle principal θp en degrés. Vous pouvez saisir n’importe quelle unité de contrainte cohérente ; les résultats de contrainte seront exprimés dans cette même unité.
Quelle convention de signe ce calculateur utilise-t-il ?+
Une contrainte normale positive (σx, σy) correspond à une traction ; une valeur négative correspond à une compression. La contrainte de cisaillement τxy suit la convention courante en ingénierie : une valeur positive tend à faire tourner l’élément dans le sens antihoraire. L’angle principal θp est mesuré dans le sens antihoraire à partir de l’axe x positif.
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