La conjecture de Collatz semble d’une simplicité trompeuse : prenez un entier strictement positif, divisez-le par deux s’il est pair, multipliez-le par trois et ajoutez 1 s’il est impair, puis recommencez. Pourtant, elle résiste aux démonstrations depuis près d’un siècle. Ce calculateur génère la suite à partir de n’importe quel nombre initial et indique le nombre d’étapes nécessaires pour atteindre 1, le maximum rencontré et toute la chaîne étape par étape.

Comment la suite est générée

À partir d’un entier choisi, le calculateur applique les deux mêmes règles de façon répétée : un nombre pair est divisé par 2, et un nombre impair est multiplié par trois puis augmenté de 1. Le processus continue jusqu’à ce que la valeur atteigne 1, ce qui met fin à la suite. Chaque application de la règle constitue une itération, et le nombre total d’itérations nécessaires est appelé temps d’arrêt. L’onglet « Étapes » du calculateur affiche directement ce décompte, tandis que l’onglet « Suite » répertorie chaque valeur intermédiaire.

Pourquoi la suite est imprévisible

Bien que la règle soit fixe, la suite obtenue peut avoir un comportement très irrégulier : elle peut monter bien au-dessus du nombre de départ avant de finir par redescendre. C’est pourquoi ses valeurs sont surnommées nombres grêlons : comme un grêlon qui rebondit dans un nuage d’orage avant de retomber, une suite de Collatz peut augmenter pendant de nombreuses étapes avant d’entamer sa descente finale. Le nombre de départ 27, par exemple, atteint 9,232 — plus de 340 fois sa valeur initiale — avant de revenir à 1 au bout de 111 étapes. L’onglet « Valeur maximale » indique précisément à quelle étape ce maximum a été atteint.

Ce qui est démontré et ce qui ne l’est pas

Tous les nombres de départ testés jusqu’ici — vérifiés par calcul jusqu’à des valeurs se chiffrant en milliers de milliards — finissent par atteindre 1. Mais la conjecture de Collatz elle-même, formulée pour la première fois en 1937 par le mathématicien allemand Lothar Collatz, affirme que cela vaut pour tout entier strictement positif, et personne ne l’a démontré. Elle reste l’un des problèmes ouverts les plus célèbres des mathématiques : assez simple à expliquer à un enfant, mais non résolue par les mathématiciens professionnels depuis plus de 85 ans. Des outils connexes comme le calculateur de modulo et le calculateur de suites permettent d’explorer d’autres motifs numériques dans le même esprit.