Les suites et les séries sont à la base du raisonnement quantitatif. Une suite arithmétique ajoute une quantité fixe à chaque étape ; une suite géométrique multiplie par un rapport fixe. Comprendre cette différence et savoir calculer instantanément n’importe quel terme ou somme partielle est utile dans de nombreux domaines, des finances personnelles à la physique.

Arithmétique ou géométrique : quel est votre motif ?

Pour classer rapidement une suite, examinez les différences entre termes consécutifs. Si elles sont toutes égales (par exemple 3, 7, 11, 15 : une différence de 4 à chaque fois), la suite est arithmétique. Si les rapports sont tous égaux (par exemple 2, 6, 18, 54 : un rapport de 3 à chaque fois), elle est géométrique. Le mode Personnalisée du calculateur détecte automatiquement ces motifs.

Parmi les suites arithmétiques du quotidien, on trouve les augmentations annuelles de salaire, l’amortissement linéaire et les rendez-vous à intervalles réguliers. Les suites géométriques apparaissent dans les intérêts composés, la croissance démographique, la désintégration radioactive et l’atténuation des signaux — partout où une variation en pourcentage se répète à chaque période.

Quand une série géométrique converge-t-elle ?

Une série géométrique converge — c’est-à-dire que ses sommes partielles tendent vers un nombre fini unique — si et seulement si la valeur absolue de la raison commune est inférieure à 1 (|r| < 1). La limite est S∞ = a₁ / (1 − r). Par exemple, la série 1 + ½ + ¼ + ⅛ + … (r = 0.5) converge exactement vers 2.

Lorsque |r| ≥ 1, les termes restent constants (r = 1), alternent de signe sans diminuer (r = −1) ou croissent sans limite (|r| > 1). Dans les trois cas, la série diverge : il n’existe pas de somme finie à l’infini. Le calculateur l’indique avec un badge Diverge et masque le champ S∞.

La suite de Fibonacci et le nombre d’or

Les nombres de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 …) ne sont ni arithmétiques ni géométriques, mais apparaissent partout dans la nature : spirales des graines de tournesol, coquilles de nautile et ramification des arbres. Le rapport de deux termes consécutifs (par exemple 21/13 ≈ 1.615) tend vers le nombre d’or φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.618 lorsque n → ∞.

Ses applications pratiques comprennent l’analyse des algorithmes (tas de Fibonacci, complexité du calcul récursif de Fibonacci) et le trading financier (niveaux de retracement de Fibonacci). Ce calculateur affiche les termes jusqu’à F₇₈ ; au-delà, la précision en virgule flottante de JavaScript ne permet plus de représenter exactement l’entier.