Calculatrice de modulo

Convention	Quotient q	Remainder r	a = q·n + r
Enter a dividend and a non-zero divisor.

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Étapes

Comment utiliser cette calculatrice

3 étapes

1

Saisissez le dividende et le diviseur

Saisissez le dividende <code>a</code> (le nombre à diviser) et le diviseur <code>n</code> (le module). Ils peuvent être négatifs, et le diviseur peut être un grand entier : la calculatrice conserve toute la précision avec BigInt. Le résultat se met à jour instantanément.

2

Consultez les trois restes

La carte de résultat affiche côte à côte le reste selon chaque convention de signe : tronquée (résultat de JavaScript, C, Go, Rust et Java), arrondie vers le bas (résultat de Python et Ruby) et euclidienne (réponse mathématique toujours non négative). Chaque carte affiche aussi le quotient correspondant afin que l’identité <code>a = q·n + r</code> soit vérifiée.

3

Comparez les conventions ou passez à l’exponentiation modulaire

Ouvrez l’onglet Explication des conventions pour voir où chaque reste se place sur une droite numérique et pourquoi les résultats diffèrent : les conventions ne divergent que lorsqu’un des deux opérandes est négatif. Pour la programmation ou la cryptographie, passez à l’onglet Exponentiation modulaire pour calculer <code>(base^exp) mod m</code> avec de très grands exposants grâce à l’algorithme rapide d’élévation au carré et de multiplication.

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Référence

Formule et méthodologie

5 formules

Modulo tronqué (JavaScript, C, Go, Rust, Java)

q = trunc(a / n), r = a − n·q

Le quotient est arrondi vers zéro ; le reste prend donc le signe du dividende a. C’est exactement le résultat de l’opérateur % dans la plupart des langages de la famille C : −7 % 3 = −1.

Modulo arrondi vers le bas (Python, Ruby)

q = floor(a / n), r = a − n·q ⇒ r = ((a mod n) + n) mod n for n > 0

Le quotient est arrondi vers moins l’infini ; le reste prend donc le signe du diviseur n. C’est le résultat de l’opérateur % en Python : −7 % 3 = 2.

Modulo euclidien (théorie des nombres)

r = a − |n|·floor(a / |n|), with 0 ≤ r < |n|

Le reste est toujours non négatif, quels que soient les signes de a et de n. C’est le résidu utilisé dans l’arithmétique modulaire et les congruences lorsque l’on écrit « a mod n ».

Identité de la division

a = q·n + r

Toutes les conventions vérifient cette identité ; elles choisissent simplement des paires (q, r) différentes. C’est pourquoi un même « reste » peut avoir trois valeurs distinctes.

Exponentiation modulaire (algorithme rapide d’élévation au carré et de multiplication)

(base^exp) mod m = reduce mod m after every multiply

Traitez les bits de l’exposant un par un : élevez une base courante au carré et multipliez-la au résultat lorsqu’un bit est activé, en réduisant toujours modulo m. Cette méthode calcule instantanément des résultats avec des exposants de plusieurs centaines de chiffres et constitue le moteur de RSA et de Diffie-Hellman.

📖

Glossaire

Termes clés expliqués

11 termes

Modulo (mod) Opération qui renvoie le reste après la division d’un entier par un autre. « a mod n » répond à la question suivante : que reste-t-il après avoir retiré de a autant de multiples entiers de n que possible ?

Dividende (a) Nombre à diviser, c’est-à-dire l’opérande de gauche dans a mod n. Il peut être positif, négatif ou nul.

Diviseur / module (n) Nombre par lequel on divise, soit l’opérande de droite et la valeur de retour à zéro. Il doit être différent de zéro ; la division par zéro ne définit aucun reste.

Quotient (q) Nombre de fois que le diviseur est contenu dans le dividende. Chaque convention de signe arrondit le quotient différemment (vers zéro, vers −∞ ou de manière à garder un reste non négatif).

Reste (r) Ce qui subsiste après avoir retiré le quotient : r = a − q·n. Son signe dépend de la convention choisie lorsque a ou n est négatif.

Division tronquée Arrondit le quotient vers zéro. Le reste prend alors le signe du dividende. Utilisée par JavaScript, C, C++, Java, Go, Rust et Swift.

Division arrondie vers le bas Arrondit le quotient vers moins l’infini. Le reste prend alors le signe du diviseur. Utilisée par Python et Ruby.

Modulo euclidien Définit le reste dans l’intervalle 0 ≤ r < |n|. C’est le résidu utilisé en théorie des nombres, dans les congruences et pour l’arithmétique des horloges.

Congruence (a ≡ b mod n) Deux entiers sont congrus modulo n lorsqu’ils ont le même reste euclidien ; de manière équivalente, n divise leur différence.

Inverse modulaire Nombre x tel que a·x ≡ 1 (mod m). Il existe uniquement si a et m sont premiers entre eux (pgcd = 1) et se calcule avec l’algorithme d’Euclide étendu.

Exponentiation modulaire Calcul efficace de (base^exp) mod m sans former la puissance entière : on réduit modulo m après chaque mise au carré et multiplication.

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Situations types

Exemples concrets

3 exemples

🧮

Développeur portant du code vers un autre langage

−7 mod 3 selon différents langages

Dividende a -7 Diviseur n 3

JavaScript et C renvoient −1 (division tronquée : le reste prend le signe du dividende). Python et Ruby renvoient 2 (division arrondie vers le bas : le reste prend le signe du diviseur). La réponse mathématique est également 2 (convention euclidienne). Si vous portez une routine de hachage ou de bouclage d’index de Python vers JavaScript sans l’adapter, les valeurs négatives produiront silencieusement des indices hors plage : c’est le bogue de modulo le plus courant.

🕐

Arithmétique des horloges

Quelle heure sera-t-il 17 heures après minuit ?

Dividende a 17 Diviseur n 12

17 mod 12 = 5 : 17 h correspond donc à 5 heures sur une horloge de 12 heures. Les deux opérandes étant positifs, les trois conventions donnent le même résultat. Le calcul des heures, des minutes (mod 60) et des jours de la semaine (mod 7) est l’application quotidienne du modulo euclidien : toutes ces unités suivent un cycle.

🔐

Étudiant en cryptographie

Puissance de type RSA : 4¹³ mod 497

Base 4 Exposant 13 Module m 497

4¹³ vaut 67,108,864, mais il n’est pas nécessaire de calculer ce nombre. L’algorithme rapide d’élévation au carré et de multiplication réduit modulo 497 après chaque opération et renvoie 445 en quelques étapes seulement. RSA réel fait de même avec des exposants de 2,048 bits, ce qui rend la cryptographie à clé publique assez rapide pour chaque connexion HTTPS.

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Référence

Citer cette calculatrice

APA et MLA

Utilisez un de ces formats pour citer cette calculatrice dans un devoir ou un rapport.

APA

MLA

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Analyse approfondie

Modulo, restes et les trois réponses de −7 mod 3

3 chapitres · 6 min de lecture

Le modulo semble être l’opération la plus simple en programmation — le reste d’une division — jusqu’à ce qu’un nombre négatif fasse apparaître des désaccords entre langages. Cette calculatrice affiche tous les résultats à la fois pour que la convention soit toujours claire et ajoute l’exponentiation modulaire, utile en cryptographie et pour le hachage.

Le quotient détermine le reste

La division des entiers produit un quotient et un reste liés par une seule identité : a = q·n + r. Mais cette équation possède plusieurs solutions entières lorsque des nombres négatifs interviennent. Il suffit de préciser comment le quotient est arrondi pour déterminer le reste.

Si le quotient est arrondi vers zéro (division tronquée), le reste prend le signe du dividende a. S’il est arrondi vers moins l’infini (division par défaut), le reste prend le signe du diviseur n. Si l’on exige un reste non négatif, on obtient la convention euclidienne utilisée en mathématiques. Aucune de ces réponses n’est « fausse » : elles sont toutes trois cohérentes pour une question qui devient ambiguë avec des valeurs négatives.

Pourquoi JavaScript et Python ne donnent-ils pas le même résultat ?

-7 % 3 vaut -1 en JavaScript, C, C++, Java, Go et Rust, mais 2 en Python et Ruby. Les langages de la famille C ont adopté la division tronquée il y a plusieurs décennies ; leur opérateur % conserve donc le signe du dividende. Les concepteurs de Python ont choisi la division arrondie vers le bas, car elle rend l’opérateur % pratique pour son usage courant : ramener un indice dans une plage fixe, où l’on souhaite presque toujours un résultat non négatif.

C’est une source fréquente de bogues lors du portage de code ou des échanges entre langages. Une expression telle que arr[i % len] fonctionne en Python même si i est négatif, mais en JavaScript elle peut produire un indice négatif. Pour obtenir un résultat euclidien portable, utilisez explicitement ((i % len) + len) % len.

À quoi sert le modulo : horloges, hachage et cryptographie

Calculs cycliques. Les horloges (mod 12 ou 24), les jours de la semaine (mod 7) et les angles (mod 360) utilisent tous le modulo euclidien. Toute grandeur cyclique peut se ramener à un calcul modulo.

Hachage et répartition de charge. Les tables de hachage placent une clé dans le compartiment hash(key) mod numBuckets. Comme les hachages sont souvent signés, c’est précisément là que le bogue des restes négatifs apparaît ; le modulo euclidien fournit un indice de compartiment valide.

Cryptographie. RSA et Diffie-Hellman reposent sur l’exponentiation modulaire : élever un nombre à une grande puissance modulo un grand nombre. Le calcul direct est impossible, car les résultats intermédiaires auraient un nombre astronomique de chiffres. L’algorithme rapide d’élévation au carré et de multiplication réduit donc modulo m après chaque étape. L’onglet Exponentiation modulaire de cette calculatrice exécute exactement cet algorithme avec BigInt.

❓

Questions

Questions fréquentes

7 questions

Pourquoi Python et JavaScript ne donnent-ils pas le même résultat pour −7 mod 3 ?+

Ils utilisent des conventions de division différentes. JavaScript (comme C, Java, Go et Rust) utilise la division tronquée : le reste prend le signe du dividende et −7 % 3 = −1. Python (comme Ruby) arrondit le quotient vers le bas : le reste prend le signe du diviseur et −7 % 3 = 2. Les deux vérifient a = q·n + r, mais choisissent des quotients différents. Pour obtenir le résultat non négatif de Python en JavaScript, utilisez ((a % n) + n) % n.

Combien vaut −7 mod 3 ?+

Cela dépend de la convention. Division tronquée (JavaScript/C) : −1. Division arrondie vers le bas (Python/Ruby) : 2. Convention euclidienne (mathématiques) : 2. La réponse euclidienne 2 est celle que les mathématiciens expriment par −7 ≡ 2 (mod 3), car le reste euclidien est toujours compris entre 0 et |n| − 1.

Modulo et reste, est-ce la même chose ?+

Pour les nombres positifs, oui : les deux notions donnent le même résultat. La différence apparaît uniquement avec des opérandes négatifs : le « reste » (souvent le résultat tronqué renvoyé par le processeur) peut être négatif, alors que le modulo au sens mathématique, ou résidu euclidien, est non négatif. Comme les langages n’emploient pas tous les mêmes conventions, cette calculatrice affiche chacune d’elles.

Le diviseur peut-il être nul ou négatif ?+

Le diviseur ne peut pas être nul : la division par zéro n’est pas définie et la calculatrice affiche une erreur pour n = 0. Un diviseur négatif est tout à fait admis et permet de voir la différence entre conventions : avec la division arrondie vers le bas, le reste suit le signe du diviseur et peut donc être négatif même si le dividende est positif (par exemple, 7 mod −3 = −2 en Python).

À quoi sert l’exponentiation modulaire ?+

Elle calcule efficacement (base^exp) mod m et constitue une opération centrale de la cryptographie à clé publique. Le chiffrement RSA, le déchiffrement et l’échange de clés Diffie-Hellman élèvent tous des nombres à de grandes puissances modulo un grand nombre. L’algorithme rapide d’élévation au carré et de multiplication réduit modulo m après chaque étape, ce qui évite l’explosion des valeurs intermédiaires et permet de traiter instantanément des exposants de milliers de bits. L’onglet Exponentiation modulaire le montre et prend également en charge les exposants négatifs grâce à l’inverse modulaire.

Cette calculatrice gère-t-elle les très grands nombres ?+

Oui. Les calculs du diviseur comme l’exponentiation modulaire utilisent JavaScript BigInt ; les entiers de plusieurs centaines de chiffres sont donc calculés exactement, sans arrondi à virgule flottante. Les nombres non entiers (décimaux) sont également acceptés, mais sont calculés en virgule flottante et signalés comme tels.

Qu’est-ce qu’un inverse modulaire ?+

L’inverse modulaire de a modulo m est le nombre x qui vérifie a·x ≡ 1 (mod m). Il existe uniquement si a et m sont premiers entre eux (leur plus grand commun diviseur est 1) et se calcule avec l’algorithme d’Euclide étendu. L’onglet Exponentiation modulaire l’utilise pour traiter les exposants négatifs : par exemple, 3⁻¹ mod 11 = 4, car 3·4 = 12 ≡ 1 (mod 11). Si aucun inverse n’existe (pgcd ≠ 1), la calculatrice le signale au lieu de renvoyer un résultat erroné.

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Inputs

Résultat

(base ^exp) mod m

Résultat

Why conventions disagree

Position du reste sur la droite numérique

Comment utiliser cette calculatrice

Saisissez le dividende et le diviseur

Consultez les trois restes

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Formule et méthodologie

Termes clés expliqués

Exemples concrets

Développeur portant du code vers un autre langage

Arithmétique des horloges

Étudiant en cryptographie

Citer cette calculatrice

Modulo, restes et les trois réponses de −7 mod 3

Le quotient détermine le reste

Pourquoi JavaScript et Python ne donnent-ils pas le même résultat ?

À quoi sert le modulo : horloges, hachage et cryptographie

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(base exp) mod m

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