Berechnen Sie die minimale Unsicherheit in Bezug auf Position, Impuls, Energie oder Zeit mithilfe der Heisenbergschen Unschärferelation – Δx·Δp ≥ ħ/2 und ΔE·Δt ≥ ħ/2.
Eingaben
Lassen Sie stattdessen eine Lösung für Δx von Δp leer. Füllen Sie beide aus und prüfen Sie, ob das Paar das Prinzip erfüllt.
Lassen Sie stattdessen eine Lösung für Δp von Δx leer.
Unsicherheit
—
Geben Sie oben Δx oder Δp (oder beides) ein, um das Ergebnis anzuzeigen.
Eingaben
Lassen Sie stattdessen eine Lösung für ΔE von Δt leer. Füllen Sie beide aus und prüfen Sie, ob das Paar das Prinzip erfüllt.
Lassen Sie stattdessen eine Lösung für Δt von ΔE leer – z. ein aufgeregter Zustand meines Lebens.
Unsicherheit
—
Geben Sie oben ΔE oder Δt (oder beides) ein, um das Ergebnis anzuzeigen.
Eingaben
Wählen Sie die Menge aus, für die Sie das theoretische Minimum wünschen.
Geben Sie die bekannte Unsicherheit in der gepaarten Größe ein (z. B. Δp bei Lösung nach Δx).
Minimale Unsicherheit
—
Wählen Sie aus, wonach Sie auflösen möchten, und geben Sie oben den konjugierten Wert ein.
3 Min. Lesezeit3 Schritte6 Begriffe3 Beispiele6 häufig gestellte FragenΔx · Δp ≥ ħ/2
Die Heisenbergsche Unschärferelation ist eines der bekanntesten – und am meisten missverstandenen – Ergebnisse der Physik.
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Schritt für Schritt
So verwenden Sie diesen Rechner
3 Schritte▸
1
Wählen Sie Position-Impuls oder Energie-Zeit
Verwenden Sie die Registerkarte „Position-Impuls“ für Δx und Δp oder die Registerkarte „Energie-Zeit“ für ΔE und Δt. Beide folgen der gleichen Beziehung: Das Produkt der beiden Unsicherheiten kann niemals unter ħ/2 fallen.
2
Geben Sie einen oder beide Werte ein
Geben Sie nur eine Unsicherheit ein, um den minimal möglichen Wert ihres Paares zu erhalten. Geben Sie beide ein, um das tatsächliche Produkt zu sehen und festzustellen, ob es den Heisenberg-Grenzwert erfüllt.
3
Verwenden Sie Minimum für eine schnelle Einzelwertlösung
Wählen Sie auf der Registerkarte „Minimum“ die Größe aus, nach der aufgelöst werden soll (Δx, Δp, ΔE oder Δt), geben Sie das bekannte Konjugat ein und lesen Sie den theoretischen Boden direkt ab.
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Grundlagen
Formel und Methodik
3 Formeln▸
Positions-Impuls-Unsicherheit
Δx · Δp ≥ ħ/2
Das Produkt aus der Unsicherheit der Position eines Teilchens (Δx, Meter) und der Unsicherheit seines Impulses (Δp, kg·m/s) kann niemals kleiner als die Hälfte der reduzierten Planck-Konstante sein, ħ/2 ≈ 5,273 × 10⁻³⁵ kg·m²/s.
Energie-Zeit-Unsicherheit
ΔE · Δt ≥ ħ/2
Das Produkt aus der Unsicherheit der Energie eines Systems (ΔE, Joule) und der Unsicherheit der Zeit, über die diese Energie gemessen wird oder der Zustand anhält (Δt, Sekunden), wird im Folgenden ebenfalls durch ħ/2 begrenzt.
Reduzierte Planck-Konstante
ħ = h / (2π) ≈ 1.055 × 10⁻³⁴ J·s
ħ („h-bar“) ist die Plancksche Konstante h dividiert durch 2π. Es legt die universelle Skala der Quantenunsicherheit fest – jede Berechnung der minimalen Unsicherheit auf dieser Seite geht auf diese eine Zahl zurück.
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Glossar
Wichtige Begriffe erklärt
6 Begriffe▸
Werner Heisenbergs Ergebnis von 1927, dass bestimmte Paare physikalischer Eigenschaften – wie Ort und Impuls oder Energie und Zeit – nicht gleichzeitig mit beliebiger Präzision bekannt sein können; Das Schärfen des einen verwischt zwangsläufig das andere.
Die Unsicherheit oder Streuung, wo ein Partikel gefunden werden kann, gemessen in Metern. Ein kleinerer Δx bedeutet, dass die Position des Partikels genauer bestimmt werden kann.
Die Unsicherheit des Impulses eines Teilchens (Masse mal Geschwindigkeit), gemessen in kg·m/s. Ein kleinerer Δp bedeutet, dass die Bewegung des Teilchens genauer bekannt ist.
Plancksches Wirkungsquantum h geteilt durch 2π, gleich etwa 1,055 × 10⁻³⁴ J·s. Es ist die Grundkonstante, die den Maßstab jeder Quantenunsicherheitsgrenze festlegt.
Die Unsicherheitsbeziehung ΔE·Δt ≥ ħ/2, die die genaue Bestimmung der Energie eines Systems mit der Dauer dieser Messung (oder des Zustands selbst) verbindet – kurzlebige Zustände weisen zwangsläufig eine breitere Energieverteilung auf.
Das theoretische minimale Unsicherheitsprodukt (ħ/2), das die Quantenmechanik zulässt – eine Untergrenze, die von der Natur selbst festgelegt wird, nicht von der Präzision eines Instruments oder einer Messtechnik.
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Beispiele
Beispiele aus der Praxis
3 Praxisbeispiele▸
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Chemiestudent
Ein Elektron, das in einer Box im atomaren Maßstab eingeschlossen ist
Positionsunsicherheit (Δx) 1 × 10⁻¹⁰ m
Δp ≥ ħ/(2·Δx) ≈ 5,3 × 10⁻²⁵ kg·m/s – die Beschränkung eines Elektrons auf ungefähr einen Atomdurchmesser erzwingt eine enorme Impulsunsicherheit auf atomarer Ebene, was genau der Grund ist, warum Elektronen nicht an festen Punkten innerhalb eines Atoms still sitzen.
⏱️
Physikstudent
Ein angeregter Atomzustand mit einer Lebensdauer von 1 Nanosekunde
Zeitunsicherheit (Δt) 1 × 10⁻⁹ s
ΔE ≥ ħ/(2·Δt) ≈ 5,3 × 10⁻²⁶ J (ungefähr 3,3 × 10⁻⁷ eV) – ein Zustand, der nur eine Nanosekunde lebt, kann keine perfekt scharfe Energie haben; Diese natürliche Linienbreite ist in der Atomspektroskopie messbar.
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Neugieriger Skeptiker
Warum ein geworfener Ball nie „unscharf“ aussieht
Positionsunsicherheit (Δx) 1 × 10⁻⁵ m
Δp ≥ ħ/(2·Δx) ≈ 5,3 × 10⁻³⁰ kg·m/s – selbst wenn man die Position eines makroskopischen Objekts auf eine Haaresbreite festlegt, bleibt ein Impulsboden zurück, der etwa 25 Größenordnungen kleiner ist als jeder Impuls, den man jemals messen könnte, sodass die Quantenunsicherheit für alltägliche Objekte völlig vernachlässigbar ist.
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Quellenangabe
Diesen Rechner zitieren
APA und MLA▸
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Die Heisenbergsche Unschärferelation ist eines der bekanntesten – und am meisten missverstandenen – Ergebnisse der Physik. Es beschreibt keine Grenze der Messtechnik; es beschreibt eine grundlegende Eigenschaft der Natur. Dieser Rechner verwandelt die beiden Standardunsicherheitsrelationen Ort-Impuls und Energie-Zeit in ein direktes numerisches Werkzeug.
So funktioniert der Heisenberg-Unsicherheitsrechner
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Beide Unsicherheitsrelationen haben die gleiche Form: Das Produkt zweier gepaarter („konjugierter“) Größen kann niemals unter ħ/2 fallen, wobei ħ die reduzierte Planck-Konstante ist. Geben Sie eine Unsicherheit ein und der Rechner gibt die kleinste mögliche Unsicherheit zurück. Geben Sie beide ein, wird stattdessen das tatsächliche Produkt angezeigt und ob dieses Paar physikalisch mit dem Prinzip übereinstimmt – ein Produkt unter ħ/2 ist kein Messfehler, sondern ein Wert, der in der Quantenmechanik völlig verboten ist.
Ort-Impuls vs. Energie-Zeit
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Δx·Δp ≥ ħ/2 gilt für die Position eines Teilchens und seinen Impuls zu einem einzelnen Zeitpunkt – es ist die Version, die die meisten Menschen zuerst lernen, und sie erklärt, warum Elektronen in Atomen keine scharf definierten Umlaufbahnen haben. ΔE·Δt ≥ ħ/2 verknüpft stattdessen die Energieausbreitung eines Systems damit, wie lange es bestehen bleibt (oder wie lange es dauert, diese Energie zu messen) – es erklärt, warum instabile Teilchen und kurzlebige angeregte Zustände eine natürliche „Breite“ ihrer Energie haben und nicht einen genauen Wert.
Warum das bei Alltagsgegenständen nie eine Rolle spielt
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Da ħ so klein ist (etwa 1,055 × 10⁻³⁴ J·s), liegt die von ihm festgelegte Unsicherheitsuntergrenze viele Größenordnungen unter allem, was ein Laborinstrument, geschweige denn ein menschliches Auge, für Objekte mit alltäglicher Masse und Größe erkennen kann. Der Effekt wird nur auf atomarer und subatomarer Ebene signifikant – Elektronen, Photonen und kurzlebige Teilchen – und genau dort wurde die Quantenmechanik zuerst benötigt. Für entsprechende Berechnungen auf atomarer Skala siehe den de Broglie-Wellenlängenrechner und den Photonenenergierechner.
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Fragen
Häufig gestellte Fragen
6 Fragen▸
Wie lautet die Formel der Heisenbergschen Unschärferelation?+
Δx·Δp ≥ ħ/2 für Position und Impuls, wobei Δx die Positionsunsicherheit, Δp die Impulsunsicherheit und ħ die reduzierte Planck-Konstante (≈1,055 × 10⁻³⁴ J·s) ist. Das Produkt aus beiden kann niemals kleiner als ħ/2 sein.
Was ist ħ (h-bar)?+
ħ ist die reduzierte Planck-Konstante, gleich der Planck-Konstante h dividiert durch 2π: ħ ≈ 1,055 × 10⁻³⁴ J·s. Es ist die Grundkonstante, die den Maßstab für jede Quantenunsicherheitsgrenze festlegt.
Was ist die Energie-Zeit-Unsicherheitsrelation?+
ΔE·Δt ≥ ħ/2, wobei ΔE die Unsicherheit der Energie eines Systems und Δt die Unsicherheit der Zeit, über die sie gemessen wird, oder der Dauer, in der der Zustand anhält, ist. Kurzlebige Staaten haben zwangsläufig eine breitere Energieverteilung.
Warum bemerken wir Quantenunsicherheit in Alltagsgegenständen nicht?+
Da ħ außergewöhnlich klein ist, liegt die Unsicherheitsuntergrenze, die es makroskopischen Objekten (einem geworfenen Ball, einem Auto, einer Person) auferlegt, viele Größenordnungen unter jeder messbaren Größe – es ist mathematisch real, aber außerhalb der atomaren Skala praktisch vernachlässigbar.
Welche Einheiten verwendet der Rechner?+
Position (Δx) in Metern, Impuls (Δp) in kg·m/s, Energie (ΔE) in Joule und Zeit (Δt) in Sekunden – alles SI-Einheiten, im Einklang mit der Definition von ħ (in Joule-Sekunden).
Was bedeutet „Mindestunsicherheit“ auf der Registerkarte „Minimum“?+
Es handelt sich um den Gleichheitsfall der Unsicherheitsbeziehung Δx·Δp = ħ/2 (oder ΔE·Δt = ħ/2) – der kleinste theoretisch mögliche Unsicherheitsfaktor der konjugierten Größe. Reale physikalische Zustände haben typischerweise ein Produkt, das etwas größer als dieser Boden ist, niemals kleiner.
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