Berechnen Sie die Materiewellenlänge eines Teilchens (λ = h/p = h/(mv)) aus Masse und Geschwindigkeit, direkt aus dem Impuls oder aus der kinetischen Energie.
Eingaben
Versuchen Sie es mit einem Teilchen:
In Kilogramm (kg). Elektronenmasse ≈ 9,109 × 10⁻³¹ kg.
In Metern pro Sekunde (m/s).
Löst λ = h/(mv) direkt aus Masse und Geschwindigkeit – die klassische De-Broglie-Beziehung.
Eingaben
Versuchen Sie es mit einem Schwung:
In Kilogrammmetern pro Sekunde (kg·m/s).
Wenn der Impuls bereits bekannt ist – aus einer vorherigen Berechnung oder Messung – lösen Sie λ = h/p direkt und überspringen Sie Masse und Geschwindigkeit.
Eingaben
Versuchen Sie es mit einem beschleunigten Elektron:
In Kilogramm (kg).
In Elektronenvolt (eV) – typisch für Teilchen, die durch eine Spannung beschleunigt werden.
Löst p = √(2m·KE), dann λ = h/p (nicht relativistisch) – nützlich, wenn Energie statt Geschwindigkeit bekannt ist, wie bei der Beschleunigungsspannung eines Elektronenmikroskops.
Broglie-Wellenlänge
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Geben Sie die erforderlichen Eingaben ein, um die De-Broglie-Wellenlänge anzuzeigen.
4 Min. Lesezeit3 Schritte6 Begriffe3 Beispiele6 häufig gestellte Fragenλ = h / p
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Schritt für Schritt
So verwenden Sie diesen Rechner
3 Schritte▸
1
Wählen Sie Ihre bekannten Eingaben aus
Verwenden Sie die Registerkarte „Aus Masse und Geschwindigkeit“, wenn Sie die Masse und Geschwindigkeit eines Teilchens kennen, „Aus Impuls“, wenn der Impuls bereits bekannt ist, oder „Aus KE“, wenn Sie die kinetische Energie des Teilchens (in Elektronenvolt) kennen – wie bei einem Elektron, das durch eine Spannung beschleunigt wird.
2
Geben Sie die Werte ein
Geben Sie Masse in Kilogramm, Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde, Impuls in kg·m/s oder kinetische Energie in Elektronenvolt ein – wissenschaftliche Notation (z. B. 9.10938e-31) wird direkt akzeptiert. Der Rechner aktualisiert sich sofort und zeigt die De-Broglie-Wellenlänge λ = h/p an, automatisch skaliert auf μm, nm, pm oder fm.
3
Lesen Sie die Skaleninterpretation
Die Ergebniskarte erklärt, ob die Wellenlänge groß genug ist, um Materie zu erzeugen – messbar und vergleichbar mit atomaren Abmessungen für Elektronen und andere subatomare Teilchen oder völlig vernachlässigbar für alltägliche makroskopische Objekte wie einen Baseball.
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Grundlagen
Formel und Methodik
3 Formeln▸
de Broglie-Wellenlänge vom Impuls
λ = h / p
λ ist die De-Broglie-Wellenlänge in Metern, h ist das Plancksche Wirkungsquantum (6,62607015 × 10⁻³⁴ J·s) und p ist der Impuls des Teilchens in kg·m/s. Dies ist die Kernbeziehung, die Louis de Broglie 1924 vorschlug: Jedes sich bewegende Teilchen hat eine zugehörige Materiewelle, deren Wellenlänge umgekehrt proportional zu seinem Impuls ist.
Aus Masse und Geschwindigkeit
λ = h / (m·v)
Für ein nichtrelativistisches Teilchen ist der Impuls p = m·v, daher kann die Wellenlänge direkt aus Masse (kg) und Geschwindigkeit (m/s) berechnet werden. Dies ist die am häufigsten gelehrte Form in der Einführung in die Physik.
Aus kinetischer Energie
p = √(2m·KE), so λ = h / √(2m·KE)
Wenn die kinetische Energie statt der Geschwindigkeit bekannt ist – zum Beispiel ein Elektron, das durch eine bekannte Spannung beschleunigt wird, wobei KE (eV) = Beschleunigungsspannung (V) – wird der Impuls zuerst aus KE = p²/(2m) und dann aus λ = h/p abgeleitet. Dieser Rechner verwendet die nichtrelativistische Näherung, die gültig ist, solange die kinetische Energie deutlich unter der Ruheenergie des Teilchens bleibt.
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Glossar
Wichtige Begriffe erklärt
6 Begriffe▸
Die Wellenlänge der Materiewelle, die einem sich bewegenden Teilchen zugeordnet ist, λ = h/p. Es wurde 1924 von Louis de Broglie vorgeschlagen und erweitert den Welle-Teilchen-Dualismus – der zuvor nur für Licht verwendet wurde – auf alle Materie, einschließlich Elektronen, Atome und (im Prinzip) Baseballbälle.
Das wellenartige Verhalten von Teilchen mit Masse, erstmals experimentell durch Elektronenbeugung bestätigt (Davisson-Germer, 1927). Materiewellen erklären Phänomene wie Elektronenmikroskopie und quantisierte Atomorbitale.
Das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit eines Objekts (p = mv) für nichtrelativistische Geschwindigkeiten, gemessen in Kilogrammmetern pro Sekunde (kg·m/s). Der Impuls, nicht Masse oder Geschwindigkeit allein, bestimmt direkt die De-Broglie-Wellenlänge.
Eine grundlegende physikalische Konstante, genau 6,62607015 × 10⁻³⁴ Joulesekunden (festgelegt durch die SI-Neudefinition 2019), die den Maßstab festlegt, ab dem Quanteneffekte – einschließlich Materiewellen – bedeutsam werden.
Das Prinzip, dass jedes Quantenobjekt – Licht oder Materie – je nachdem, wie es gemessen wird, sowohl wellenartiges als auch teilchenartiges Verhalten zeigt. Die De-Broglie-Wellenlänge quantifiziert den Wellenaspekt jedes massiven Teilchens.
Die kleinste diskrete Einheit, in der sich eine physikalische Größe ändern kann. Materiewellen sind ein quantenmechanisches Phänomen: Sie werden nur dann beobachtbar, wenn die De-Broglie-Wellenlänge eines Teilchens mit der Größe des Systems vergleichbar ist, mit dem es wechselwirkt, beispielsweise einem Kristallgitter oder einem Atom.
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Beispiele
Beispiele aus der Praxis
3 Praxisbeispiele▸
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Physikstudent
Elektron in der Grundzustandsbahn eines Wasserstoffatoms
Messe 9,10938 × 10⁻³¹ kgGeschwindigkeit 2,19 × 10⁶ m/s
Ein Elektron, das sich mit der Bohr-Grundzustandsgeschwindigkeit bewegt, hat eine De-Broglie-Wellenlänge von etwa 332 pm (0,332 nm) – dies entspricht insbesondere dem 2π-fachen des Bohr-Radius und entspricht genau Bohrs ursprünglicher Quantisierungsbedingung, dass der Umlaufbahnumfang eine ganze Zahl von Wellenlängen enthält. Auf dieser Skala ist das Wellenverhalten direkt beobachtbar (Elektronenbeugung, Elektronenmikroskopie).
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Baseball-Werfer
Ein Fastball mit 90 Meilen pro Stunde
Messe 0.145 kgGeschwindigkeit 40 m/s
Ein regulärer Baseball, der mit 40 m/s geworfen wird, hat eine De-Broglie-Wellenlänge von etwa 1,14 × 10⁻³⁴ m – deutlich kleiner als ein Atomkern (~10⁻¹⁵ m), ganz zu schweigen vom Ball selbst. Deshalb zeigen makroskopische Objekte keine beobachtbaren Welleneigenschaften: Ihr Impuls ist im Vergleich zu den in der Teilchenphysik betrachteten Teilchen enorm, sodass λ auf einen unmessbar kleinen Wert sinkt.
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Elektronenmikroskopiker
Ein durch 100 V beschleunigtes Elektron (aus der Registerkarte KE)
Messe 9,10938 × 10⁻³¹ kgKinetische Energie 100 eV
Wechselt man zur Registerkarte „Von KE“ und gibt 100 eV ein (die kinetische Energie, die ein durch ein 100-Volt-Potenzial beschleunigtes Elektron gewinnt), ergibt sich eine De-Broglie-Wellenlänge von etwa 122,6 PM – kürzer als sichtbares Licht und vergleichbar mit dem Atomabstand in einem Kristallgitter, und genau aus diesem Grund können Elektronenmikroskope viel kleinere Details auflösen, als es optische Mikroskope jemals könnten.
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Quellenangabe
Diesen Rechner zitieren
APA und MLA▸
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Hintergrundwissen
Materiewellen: Die De-Broglie-Wellenlänge verstehen
Im Jahr 1924 schlug Louis de Broglie eine radikale Idee vor: Wenn sich Licht – lange Zeit als Welle verstanden – auch als diskrete Teilchen (Photonen) verhalten könnte, dann sollte auch Materie, die lange Zeit als Teilchen verstanden wurde, Wellennatur haben. Dieser Rechner wendet seine Beziehung λ = h/p an, um die Wellenlänge der Materiewelle zu ermitteln, die mit jedem sich bewegenden Objekt verbunden ist, von einem subatomaren Elektron bis zu einem geworfenen Baseball.
So funktioniert der de Broglie-Wellenlängenrechner
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Der Rechner verwendet λ = h/p, wobei h das Plancksche Wirkungsquantum und p der Impuls des Teilchens ist. Wenn Sie Masse und Geschwindigkeit kennen, berechnet sich der Impuls mit p = mv (Registerkarte „Aus Masse und Geschwindigkeit“). Ist der Impuls bereits aus einer anderen Berechnung bekannt, können Sie auf der Registerkarte „Aus dem Impuls“ direkt λ = h/p berechnen. Wenn Sie stattdessen die kinetische Energie kennen – etwa weil ein Elektron durch eine bekannte Spannung beschleunigt wurde –, ermittelt die Registerkarte „Aus kinetischer Energie“ zunächst den Impuls mit p = √(2m·KE) und verwendet anschließend dieselbe Formel.
Alle drei Registerkarten verwenden den CODATA-genauen Wert der Planckschen Konstante h = 6,62607015 × 10⁻³⁴ J·s, der 2019 bei der Neudefinition der SI-Einheiten festgelegt wurde.
Eingaben und was sie bedeuten
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Die Masse wird in Kilogramm eingegeben – für subatomare Teilchen bedeutet dies sehr kleine Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise (die Masse eines Elektrons beträgt 9,10938 × 10⁻³¹ kg), während für Alltagsgegenstände normale Dezimalwerte verwendet werden. Die Geschwindigkeit wird in Metern pro Sekunde angegeben. Der Impuls wird bei direkter Eingabe in Kilogrammmetern pro Sekunde (kg·m/s) angegeben. Die kinetische Energie auf der Registerkarte „Von KE“ wird in Elektronenvolt (eV) und nicht in Joule eingegeben, da eV die Standardeinheit für Teilchenenergien ist – 1 eV ist die Energie, die ein Elektron beim Überqueren einer Potentialdifferenz von 1 Volt gewinnt, sodass ein durch 100 V beschleunigtes Elektron genau 100 eV kinetische Energie hat.
Grenzen und Randfälle
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Die Registerkarte „Von KE“ verwendet die nichtrelativistische Näherung p = √(2m·KE), die genau ist, solange die kinetische Energie deutlich unter der Ruhemassenenergie des Teilchens (511 keV für ein Elektron) bleibt. Bei relativistischen Geschwindigkeiten unterschätzt diese vereinfachte Formel den Impuls und überschätzt die Wellenlänge – eine Einschränkung, die mit den meisten de Broglie-Berechnungen für Einsteiger geteilt wird. Die Formel geht außerdem von einem freien, nicht wechselwirkenden Teilchen aus; Wellenlängen für gebundene oder eingeschlossene Teilchen (wie Elektronen in einem Atom) sind ein nützlicher konzeptioneller Leitfaden, erfordern aber für genaue Ergebnisse die vollständige Quantenmechanik. Schließlich ist die De-Broglie-Wellenlänge bei makroskopischen Objekten um so viele Größenordnungen kleiner als alles physikalisch Messbare, dass das Ergebnis eher eine mathematische Kuriosität als ein beobachtbarer Effekt ist.
❓
Fragen
Häufig gestellte Fragen
6 Fragen▸
Was ist die De-Broglie-Wellenlängenformel?+
λ = h/p, wobei λ die De-Broglie-Wellenlänge in Metern, h die Plancksche Konstante (6,62607015 × 10⁻³⁴ J·s) und p der Impuls des Teilchens in kg·m/s ist. Für ein nichtrelativistisches Teilchen ist p = mv, daher wird die Formel oft als λ = h/(mv) geschrieben.
Warum zeigen Alltagsgegenstände kein Wellenverhalten?+
Technisch gesehen hat jedes sich bewegende Objekt eine De-Broglie-Wellenlänge, aber bei makroskopischen Objekten ist sie so klein – die Wellenlänge eines geworfenen Baseballs beträgt etwa 10⁻³⁴ m –, dass kein Experiment sie jemals entdecken könnte. Welleneffekte werden nur dann beobachtbar, wenn die Wellenlänge mit der Größe des Systems, mit dem ein Teilchen interagiert, vergleichbar ist, beispielsweise mit dem Abstand zwischen Atomen in einem Kristall, was nur bei sehr leichten, sich langsam bewegenden Teilchen wie Elektronen der Fall ist.
Welche Einheiten erwartet der de Broglie-Wellenlängenrechner?+
Die Masse wird in Kilogramm angegeben, die Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde, der Impuls in Kilogrammmetern pro Sekunde (kg·m/s) und die kinetische Energie (auf der Registerkarte „Von KE“) in Elektronenvolt (eV). Das Ergebnis – die De-Broglie-Wellenlänge – wird in der Einheit (μm, nm, pm oder fm) angezeigt, die am besten zur berechneten Größe passt.
Wie unterscheidet sich das von der Wellenlänge eines Photons?+
Die Wellenlänge eines Photons ergibt sich aus seiner Energie und Frequenz (E = hf = hc/λ); Photonen bewegen sich immer mit Lichtgeschwindigkeit. Die de-Broglie-Wellenlänge gilt dagegen für Teilchen mit Masse – etwa Elektronen, Atome oder Baseballs – unabhängig von ihrer Geschwindigkeit und wird über den Impuls (p = mv) statt über die Frequenz bestimmt. Beide Beschreibungen beruhen auf derselben Welle-Teilchen-Dualität, verwenden aber unterschiedliche Formeln und gelten für unterschiedliche physikalische Teilchen.
Kann ich meine Ergebnisse teilen?+
Ja – der Rechner kodiert Ihre aktuellen Tab- und Eingabewerte in den URL-Hash. Das Kopieren der URL der Adressleiste nach der Eingabe Ihrer Nummern reicht aus, um genau dieses Szenario mit einem Kollegen zu teilen oder es später zu reproduzieren.
Ist die Registerkarte „Von KE“ für hochenergetische Partikel korrekt?+
Auf der Registerkarte „Von KE“ wird die nichtrelativistische Formel p = √(2m·KE) verwendet, die für kinetische Energien weit unterhalb der Ruhemassenenergie eines Teilchens (511 keV für ein Elektron) gut gilt. Bei relativistischen Energien unterschätzt diese Näherung zunehmend den Impuls, sodass die berechnete Wellenlänge ungenauer wird – in diesen Fällen ist stattdessen eine vollständige relativistische Impuls-Energie-Beziehung erforderlich.
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