Berechnen Sie aus einem ebenen Spannungszustand (σx, σy, τxy) die Hauptspannungen, maximale Schubspannung und Hauptrichtung – dieselbe Spannungsumwandlung, die der Mohrsche Spannungskreis grafisch darstellt.
2D-Spannungszustand
Geben Sie für das Spannungselement die Normalspannungen σx und σy sowie die Schubspannung τxy ein. Alle drei Werte können positiv (Zug) oder negativ (Druck/umgekehrte Scherung) sein.
Die auf die x-Fläche des Spannungselements wirkende Normalspannung in Megapascal.
Die auf die Y-Seite des Spannungselements wirkende Normalspannung in Megapascal.
Die auf die x-Fläche in y-Richtung wirkende Scherspannung in Megapascal.
Standardbeispiel: σx = 100 MPa, σy = 20 MPa, τxy = 30 MPa – was Hauptspannungen von etwa 110 MPa und 10 MPa ergibt.
Ergebnis
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Geben Sie σx, σy und τxy ein, um den Mohrschen Kreis zu berechnen.
σ1 (maximal)—
σ2 (min.)—
τmax—
θp—
Stress in jedem Flugzeug
Verwenden Sie den Schieberegler, um die Normal- und Scherspannung auf einer Ebene zu überprüfen, die von der +x-Achse gegen den Uhrzeigersinn gedreht wird.
A θp, die Scherspannung ist Null und die Normalspannung ist σ1.
Geben Sie die Normalspannungen σx und σy sowie die Schubspannung τxy für Ihr Spannungselement in Megapascal ein. Alle drei können positiv oder negativ sein – der Rechner aktualisiert sich sofort, während Sie tippen.
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Lesen Sie die Hauptspannungen
Auf der Registerkarte „Hauptspannungen“ werden die Überschriften σ1 (die größere Hauptspannung) und σ2 (die kleinere) angezeigt. Das Statistikraster unten zeigt immer alle vier abgeleiteten Werte zusammen: σ1, σ2, τmax und θp.
3
Überprüfen Sie die maximale Scherspannung
Wechseln Sie zur Registerkarte „Max. Scherung“ und geben Sie die Überschrift „τmax“ ein, die größte Scherspannung, die das Element auf einer beliebigen Ebene erfährt – gleich dem Radius des Mohrschen Kreises.
4
Finden Sie den Hauptwinkel
Wechseln Sie zur Registerkarte „Hauptwinkel“ zur Überschrift θp, der Drehung (in Grad, von der x-Achse), bei der das Element nur Normalspannung und keine Scherung erfährt.
Der Mohrsche Kreis stellt jedes mögliche Normal-/Scherspannungspaar (σ, τ), das ein Spannungselement sehen kann, wenn es um 360° gedreht wird, als Kreis im σ-τ-Raum dar. Der Mittelpunkt des Kreises liegt auf der σ-Achse im Mittel der beiden Normalspannungen; Sein Radius ist der Abstand von diesem Mittelpunkt zum (σx, τxy)-Punkt, berechnet mit der obigen pythagoräischen Formel.
Hauptspannungen, maximale Scherung und Hauptwinkel
Die Hauptspannungen σ1 (Maximum) und σ2 (Minimum) liegen dort, wo der Kreis die σ-Achse schneidet – der Mittelpunkt plus oder minus dem Radius – und stellen die Ausrichtung ohne Scherspannung dar. Der Radius selbst ist die maximale Scherspannung in der Ebene, τmax. Der Hauptwinkel θp ist der halbe Winkel (gemessen auf dem Kreis) vom σx-Punkt zum nächstgelegenen Hauptspannungspunkt und gibt die physikalische Drehung an, die zum Ausrichten des Elements an seinen Hauptachsen erforderlich ist.
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Glossar
Wichtige Begriffe erklärt
7 Begriffe▸
Eine grafische Methode zur Visualisierung, wie sich Normal- und Scherspannung an einem Punkt ändern, wenn das Spannungselement gedreht wird – jedes mögliche (σ, τ)-Paar zeichnet einen Kreis im Spannungsraum, der auf der σ-Achse zentriert ist.
Die Normalspannung (maximal σ1, minimal σ2), die auf einer Ebene wirkt, in der die Scherspannung genau Null ist. Jeder 2D-Spannungszustand hat genau zwei Hauptspannungen im Abstand von 90°.
Die größte Scherspannung, die das Element bei jedem Rotationswinkel erfährt, entspricht dem Radius des Mohrschen Kreises und tritt 45° von den Hauptebenen entfernt auf.
Der Rotationswinkel, gemessen von der x-Achse, bei dem das Spannungselement an seinen Hauptebenen ausgerichtet ist – die Ausrichtung, in der die Normalspannung maximiert/minimiert ist und die Scherspannung Null ist.
Der Prozess der Berechnung der Normal- und Scherspannung auf einer Ebene in einem beliebigen Winkel aus einem bekannten Spannungszustand (σx, σy, τxy) – Mohrs Kreis ist eine grafische Abkürzung für diese Transformation.
Spannung, die senkrecht zu einer Oberfläche wirkt und diese entweder auseinanderzieht (Spannung, positiv) oder zusammendrückt (Druck, negativ). σx und σy sind die Normalspannungen auf den x- und y-Seiten des Spannungselements.
Spannung, die parallel zu einer Oberfläche wirkt und eine Materialschicht an einer anderen vorbeigleiten lässt. τxy ist die Scherspannung auf der x-Fläche, die in y-Richtung wirkt, und symmetrisch gleich der Scherspannung auf der y-Fläche, die in x-Richtung wirkt.
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Beispiele
Beispiele aus der Praxis
3 Praxisbeispiele▸
🔩
Maschinenbauingenieur
Prüfung der Hauptspannungen an einer belasteten Halterung
Zentrum = (100+20)/2 = 60 MPa, Radius = √(40² + 30²) = 50 MPa. Also σ1 = 60+50 = 110 MPa, σ2 = 60−50 = 10 MPa, τmax = 50 MPa und θp ≈ 18,43°. Die Normalspannung der Halterung im ungünstigsten Fall beträgt 110 MPa – dieser Wert wird mit der Streckgrenze des Materials verglichen.
🏗️
Bauingenieur
Dimensionierung einer Schweißnaht für maximale Scherung statt für normale Spannung
Bei negativem σy (Kompression), Mittelpunkt = 30 MPa und Radius = √(50² + 40²) ≈ 64,03 MPa, was auf der Registerkarte „Max. Scherung“ τmax ≈ 64,03 MPa ergibt. Da Schweißnähte häufig zuerst durch Scherung versagen, ist dieser Wert – nicht σ1 – hier die maßgebliche Konstruktionsprüfung.
🧪
Materialforscher richtet einen Dehnungsmessstreifen aus
Ermitteln des Rotationswinkels für eine Hauptspannungsmessung
Da σx = σy und τxy = 0, befindet sich das Element bereits in einem Hauptzustand (Radius = 0) – σ1 = σ2 = 50 MPa und θp beträgt 0°, was bedeutet, dass keine Drehung erforderlich ist, um eine scherfreie Ausrichtung zu finden. Dies ist der degenerierte Fall, bei dem der Mohrsche Kreis auf einen einzigen Punkt zusammenfällt.
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Quellenangabe
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Der Mohrsche Kreis ist das klassische grafische Werkzeug zur Spannungstransformation: Anstatt die Spannungstransformationsgleichungen jedes Mal neu abzuleiten, wenn Sie die Normal- und Scherspannung auf einer gedrehten Ebene benötigen, zeichnen Sie einen Kreis und lesen die Antwort aus seiner Geometrie ab. Dieser Rechner führt die gleichen Berechnungen numerisch durch und gibt die Hauptspannungen, die maximale Scherspannung und den Hauptwinkel direkt aus Ihren σx-, σy- und τxy-Eingaben zurück.
Wie der Kreis jede mögliche Ausrichtung kodiert
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Jeder 2D-Spannungszustand kann durch drei Zahlen beschrieben werden: die Normalspannungen auf zwei senkrechten Flächen (σx, σy) und die Scherspannung zwischen ihnen (τxy). Wenn Sie sich vorstellen, dass sich das Spannungselement dreht, zeichnen die Normal- und Scherspannung auf seinen Flächen einen Kreis im σ-τ-Raum – den Mohrschen Kreis. Der Kreis hat seinen Mittelpunkt bei (σx + σy)/2 auf der σ-Achse, mit einem Radius von √(((σx − σy)/2)² + τxy²). Jeder Punkt auf dem Kreis ist für einen bestimmten Drehwinkel ein gültiges (σ, τ)-Paar, weshalb der Kreis alle für die Spannungstransformation erforderlichen Informationen enthält, ohne dass die Trigonometrie manuell wiederholt werden muss.
Warum die wichtigsten Belastungen wichtig sind
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Die beiden Punkte, an denen der Kreis die σ-Achse schneidet – σ1 (Maximum) und σ2 (Minimum) – sind die Hauptspannungen: die Normalspannungen in der Ausrichtung, in der die Scherspannung auf Null abfällt. Hierbei handelt es sich in der Regel um die Zahlen, die im Rahmen einer Ausfallprüfung mit der Streckgrenze oder Endfestigkeit eines Materials verglichen werden, da ein Material typischerweise unter der größten Normalspannung, der es ausgesetzt ist, versagt, unabhängig davon, in welche Richtung diese Spannung im ursprünglichen x-y-Koordinatensystem zeigt. Sehen Sie sich den begleitenden Von Mises Stress Calculator an, um Hauptspannungen in einem einzigen Äquivalentspannungs-Versagenskriterium zu kombinieren.
Maximale Schubspannung und Hauptwinkel
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Der Radius des Kreises ist auch die maximale Scherspannung in der Ebene, τmax – sie tritt 45° von den Hauptebenen entfernt am oberen und unteren Rand des Kreises auf. Der Hauptwinkel, θp, ist die physikalische Drehung (gemessen von der x-Achse), die das Spannungselement an seinen Hauptebenen ausrichtet. Viele Versagensarten – Schweißnähte, Klebeverbindungen, Nachgeben von duktilem Material – werden eher durch Scherung als durch Normalspannung bestimmt, daher kann τmax je nach Material und Versagensart, die Sie prüfen, die wichtigere Zahl sein. Vergleichen Sie mit dem eigenständigen Scherspannungsrechner für den einfacheren Einzelkraftfall.
Grenzen dieses 2D-Modells
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Dieser Rechner verarbeitet Ebenenspannung (2D) – der übliche Fall für dünne Platten, Schalen und Oberflächenspannungsanalysen, bei denen die Spannung außerhalb der Ebene Null oder vernachlässigbar ist. Ein vollständig allgemeiner 3D-Spannungszustand hat drei Hauptspannungen und erfordert zur vollständigen Charakterisierung drei Mohrsche Kreise (oder eine vollständige Eigenwertanalyse). Informationen zu einem rein einachsigen oder zweiachsigen Nachweis ohne Scherung finden Sie im Spannungsrechner; Für das vollständige 3D-Versagenskriterium verwenden Sie den Komponentenspannungsmodus des Von Mises Stress Calculator.
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Fragen
Häufig gestellte Fragen
6 Fragen▸
Was ist die Formel hinter Mohrs Kreis?+
Der Kreis hat seinen Mittelpunkt bei (σx + σy)/2 mit dem Radius √(((σx − σy)/2)² + τxy²). Die Hauptspannungen sind der Mittelpunkt plus oder minus dem Radius (σ1,2 = Mittelpunkt ± Radius), die maximale Scherspannung entspricht dem Radius und der Hauptwinkel beträgt θp = ½·atan2(2τxy, σx − σy).
Wie finde ich die maximale Scherspannung?+
Die maximale Schubspannung entspricht dem Radius des Mohrschen Kreises: τmax = √(((σx − σy)/2)² + τxy²). Die Überschrift lautet auf der Registerkarte „Max. Scherung“, zusammen mit den Hauptspannungen und dem Hauptwinkel im Statistikraster als Referenz.
Was bedeutet eigentlich der Hauptwinkel?+
Der Hauptwinkel θp ist die Drehung in Grad von der x-Achse, bei der das Spannungselement so ausgerichtet ist, dass die Scherspannung Null ist und die Normalspannung ihren maximalen oder minimalen (Haupt-)Wert hat. Er wird als halber Winkel zum τxy-Punkt auf dem Kreis berechnet: θp = ½·atan2(2τxy, σx − σy).
Verarbeitet dieser Rechner 3D-Spannungszustände?+
Nein – dies ist ein 2D-Mohrscher Kreis (Ebenenspannung), der für dünne Platten, Schalen und Oberflächenspannungsanalysen geeignet ist, bei denen die Spannung außerhalb der Ebene vernachlässigbar ist. Für einen vollständigen 3D-Spannungszustand sind drei Hauptspannungen und eine allgemeinere Eigenwertanalyse erforderlich.
Welche Einheiten verwendet der Rechner?+
Alle drei Eingaben (σx, σy, τxy) und alle vier Ausgaben (σ1, σ2, τmax, θp) werden für die Spannungen in Megapascal (MPa) behandelt, wobei der Hauptwinkel in Grad angegeben ist. Geben Sie Werte in einer beliebigen konsistenten Spannungseinheit ein und die Ausgaben erfolgen in derselben Einheit.
Welche Vorzeichenkonvention verwendet dieser Rechner?+
Positive Normalspannung (σx, σy) bedeutet Spannung; negativ bedeutet Kompression. Die Scherspannung τxy folgt der technischen Standardkonvention, bei der ein positiver Wert dazu neigt, das Element gegen den Uhrzeigersinn zu drehen. Der Hauptwinkel θp wird entgegen dem Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse aus gemessen.
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