Pecahan lanjutan menulis ulang suatu bilangan sebagai tumpukan pembagian bilangan bulat, [a0; a1, a2, ...], dan dalam prosesnya mengungkapkan perkiraan rasional terbaik terhadap angka tersebut pada setiap tingkat presisi. Panduan ini menjelaskan cara perluasan dibuat, kegunaan konvergen, dan hubungan pecahan lanjutan dengan dua kalkulator yang mungkin sudah Anda gunakan: algoritme Euclidean di balik Kalkulator GCF & LCM, dan pecahan sederhana.
Bagaimana perluasan dibangun
Perluasan bekerja dengan berulang kali memisahkan suatu bilangan menjadi bagian bilangan bulat dan sisa pecahannya, lalu membalikkan sisanya dan mengulanginya. Secara formal, an = floor(xn) dan nilai berikutnya adalah xn+1 = 1 / (xn - an). Memasukkan pecahan eksak melalui proses ini sama dengan menjalankan algoritme Euclidean pada pembilang dan penyebutnya — barisan hasil bagi yang dihasilkan sama persis dengan barisan hasil bagi parsial pada pecahan lanjutan. Hal ini juga yang menyebabkan setiap perluasan bilangan rasional berakhir: algoritma Euclidean selalu mencapai sisa 0 dalam beberapa langkah yang tak terhingga.
Apa gunanya konvergen
Memotong perluasan setelah n suku menghasilkan pn/qn konvergen, dihitung dari pengulangan pn = an·pn-1 + pn-2 dan qn = an·qn-1 + qn-2. Konvergen terbukti merupakan perkiraan rasional terbaik yang tersedia untuk ukuran penyebutnya — tidak ada pecahan lain dengan penyebut sekecil itu yang bisa mendekatinya. Inilah sebabnya mengapa 22/7 dan 355/113 merupakan perkiraan klasik untuk pi, mengapa proposal reformasi kalender menggunakan konvergensi pecahan lanjutan tahun matahari untuk menentukan aturan tahun kabisat, dan mengapa rangkaian roda gigi mekanis dirancang berdasarkan konvergen ketika rasio yang tepat tidak praktis untuk dipotong.
Mengakhiri vs. perluasan tak terbatas
Setiap bilangan rasional a/b mempunyai pecahan lanjutan berhingga, dan konvergen terakhir selalu merekonstruksi a/b dengan tepat — tab Langkah kalkulator ini menunjukkan bahwa penghentian terjadi secara langsung. Sebaliknya, bilangan irasional memiliki perluasan tak terhingga yang tidak pernah terulang hingga sama persis; alat ini membatasi tampilan pada pengaturan ketentuan maksimal yang Anda pilih (hingga 30) dan memberi label pada hasil sebagai terbatas, bukan tepat, setiap kali perluasan sebenarnya terus dilakukan. Jika Anda mengerjakan pecahan biasa dan bukan perluasan, Kalkulator Pecahan dan Kalkulator Faktorisasi Prima mencakup bidang terkait, dan Modulo Kalkulator memperlihatkan sisa operasi yang menjadi dasar perluasan ini.