Why do Python and JavaScript give different answers for −7 mod 3?

They use different division conventions. JavaScript (like C, Java, Go, and Rust) uses truncated division, so the remainder takes the sign of the dividend: −7 % 3 = −1. Python (like Ruby) uses floored division, so the remainder takes the sign of the divisor: −7 % 3 = 2. Both satisfy a = q·n + r — they just pick different quotients. To get the Python-style non-negative result in JavaScript, use ((a % n) + n) % n.

It depends on the convention. Truncated (JavaScript/C): −1. Floored (Python/Ruby): 2. Euclidean (mathematics): 2. The Euclidean answer 2 is the one meant when mathematicians write −7 ≡ 2 (mod 3), because the Euclidean remainder is always between 0 and |n| − 1.

Is modulo the same as the remainder?

For positive numbers, yes — they're identical. The distinction only appears with negative operands, where 'remainder' (often the truncated result your CPU produces) can be negative, while 'modulo' in the mathematical sense is the non-negative Euclidean residue. Because different languages use the word for different conventions, this calculator shows all of them so there's no ambiguity.

Can the divisor be zero or negative?

The divisor cannot be zero — division by zero is undefined, so the calculator shows an error for n = 0. A negative divisor is perfectly valid and is exactly where the conventions diverge: with floored division the remainder follows the sign of the divisor, so the answer can be negative even when the dividend is positive (for example 7 mod −3 = −2 in Python).

What is modular exponentiation used for?

It computes (base^exp) mod m efficiently and is the core operation of public-key cryptography. RSA encryption, decryption, and Diffie-Hellman key exchange all raise numbers to large powers modulo a large number. The fast square-and-multiply algorithm reduces modulo m after each step so intermediate values never explode — letting you handle thousand-bit exponents instantly. The Modular Exponentiation tab demonstrates this and even supports negative exponents via the modular inverse.

Does this calculator handle very large numbers?

Yes. Both the divisor calculations and modular exponentiation use JavaScript BigInt internally, so integers with hundreds of digits are computed exactly with no floating-point rounding. Non-integer (decimal) inputs are supported too, but those are evaluated in floating point and flagged as such.

What is a modular inverse?

The modular inverse of a modulo m is the number x with a·x ≡ 1 (mod m). It exists only when a and m are coprime (their greatest common divisor is 1) and is computed with the extended Euclidean algorithm. The Modular Exponentiation tab uses it to evaluate negative exponents — for example 3⁻¹ mod 11 = 4, because 3·4 = 12 ≡ 1 (mod 11). When no inverse exists (gcd ≠ 1), the calculator says so instead of returning a wrong answer.

Kalkulator Modulo — Terpotong, Berlantai & Euclidean

Konvensi	Hasil bagi q	Sisa r	a = q·n + r
Masukkan dividen dan pembagi bukan nol.

📋

Panduan langkah demi langkah

Cara menggunakan kalkulator ini

3 langkah

1

Masukkan dividen dan pembagi

Ketikkan pembagi <code>a</code> (bilangan yang akan dibagi) dan pembagi <code>n</code> (modulusnya). Keduanya bisa negatif, dan pembaginya bisa berupa bilangan bulat besar — kalkulator menjaga presisi penuh dengan BigInt. Hasilnya diperbarui secara instan saat Anda mengetik.

2

Baca ketiga sisanya

Kartu hasil menunjukkan sisa di bawah setiap konvensi tanda secara berdampingan: terpotong (yang dikembalikan oleh JavaScript, C, Go, Rust, dan Java), berlantai (yang dikembalikan oleh Python dan Ruby), dan Euclidean (jawaban matematis yang selalu non-negatif). Setiap kartu juga menunjukkan hasil bagi yang cocok sehingga identitas <code>a = q·n + r</code> berlaku.

3

Bandingkan konvensi atau beralih ke eksponensial modular

Buka tab Penjelas Konvensi untuk melihat dengan tepat di mana setiap sisa berada pada garis bilangan dan mengapa berbeda — konvensi hanya akan berbeda jika salah satu operan bernilai negatif. Untuk pemrograman atau kriptografi, beralihlah ke tab Eksponen Modular untuk menghitung <code>(base^exp) mod m</code> untuk eksponen besar menggunakan kuadrat dan perkalian cepat.

⚡

Referensi

Rumus dan metodologi

5 rumus

Modulo terpotong (JavaScript, C, Go, Rust, Java)

q = trunc(a / n), r = a − n·q

Hasil bagi dibulatkan ke arah nol, sehingga sisanya bertanda dividen a. Inilah yang dikembalikan oleh operator % di sebagian besar bahasa keluarga C: −7 % 3 = −1.

Modulo berlantai (Python, Ruby)

q = floor(a / n), r = a − n·q ⇒ r = ((a mod n) + n) mod n for n > 0

Hasil bagi dibulatkan menuju tak terhingga negatif, sehingga sisanya bertanda pembagi n. Inilah yang dikembalikan oleh % Python: −7 % 3 = 2.

Modulo Euclidean (teori bilangan)

r = a − |n|·floor(a / |n|), with 0 ≤ r < |n|

Sisanya selalu non-negatif tanpa memperhatikan tanda a dan n. Ini adalah residu yang dimaksud dengan 'a mod n' dalam aritmatika dan kongruensi modular.

Identitas divisi

a = q·n + r

Setiap konvensi memenuhi identitas ini — mereka hanya memilih pasangan (q, r) yang berbeda. Itulah alasan mengapa satu 'sisa' dapat memiliki tiga nilai berbeda.

Eksponensial modular (kuadrat dan perkalian cepat)

(base^exp) mod m = reduce mod m after every multiply

Proses eksponen sedikit demi sedikit, mengkuadratkan basis berjalan dan mengalikannya ke dalam hasil setiap kali bit disetel — selalu kurangi mod m. Ini menghitung hasil dengan ratusan digit eksponen secara instan dan merupakan mesin di belakang RSA dan Diffie-Hellman.

📖

Glosarium

Penjelasan istilah penting

11 istilah

Operasi yang mengembalikan sisa sisa setelah membagi satu bilangan bulat dengan bilangan bulat lainnya. Jawaban 'a mod n': apa yang tersisa dari a setelah mengambil sebanyak mungkin salinan n sebanyak mungkin?

Nomor yang dibagi — operan kiri dari mod n. Mungkin positif, negatif, atau nol.

Angka yang Anda bagi — operan kanan dan ukuran sampulnya. Itu harus bukan nol; membaginya dengan nol membuat sisanya tidak terdefinisi.

Berapa kali pembagi cocok dengan pembagi. Setiap konvensi tanda membulatkan hasil bagi secara berbeda (menuju nol, menuju −∞, atau menjaga r tetap non-negatif).

Sisa hasil bagi diambil: r = a − q·n. Tandanya bergantung pada konvensi mana yang Anda gunakan ketika a atau n negatif.

Membulatkan hasil bagi menuju nol. Sisanya kemudian membawa tanda dividen. Digunakan oleh JavaScript, C, C++, Java, Go, Rust, dan Swift.

Membulatkan hasil bagi ke arah negatif tak terhingga. Sisanya kemudian membawa tanda pembagi. Digunakan oleh Python dan Ruby.

Mendefinisikan sisanya agar selalu berada pada rentang 0 ≤ r < |n|. Ini adalah residu yang digunakan dalam teori bilangan, kongruensi, dan aritmatika jam.

Dua bilangan bulat adalah modulo n yang kongruen jika keduanya menyisakan sisa Euclidean yang sama — ekuivalen, jika n membagi selisihnya.

Bilangan x sedemikian rupa sehingga a·x ≡ 1 (mod m). Itu ada hanya ketika a dan m tidak memiliki faktor persekutuan (gcd = 1) dan ditemukan dengan algoritma Euclidean yang diperluas.

Menghitung (base^exp) mod m secara efisien tanpa pernah membentuk pangkat penuh, dengan mengurangi mod m setelah setiap kuadrat dan perkalian.

👥

Skenario

Contoh dalam kehidupan nyata

3 contoh nyata

🧮

Kode porting pengembang

−7 mod 3 lintas bahasa

Dividen a -7 Pembagi n 3

JavaScript dan C mengembalikan −1 (dipotong: tanda dividen). Python dan Ruby mengembalikan 2 (berlantai: tanda pembagi). Jawaban matematisnya juga 2 (Euclidean). Jika Anda mem-porting rutinitas hashing atau pembungkusan indeks dari Python ke JavaScript tanpa menyesuaikannya, masukan negatif akan secara diam-diam menghasilkan indeks di luar jangkauan — satu-satunya bug modulo yang paling umum.

🕐

Aritmatika jam

Jam berapa sekarang 17 jam setelah tengah malam?

Dividen a 17 Pembagi n 12

17 mod 12 = 5, jadi 17:00 dalam 12 jam adalah jam 5. Karena kedua operannya positif, ketiga konvensi tersebut setuju. Matematika jam dan kalender adalah tampilan sehari-hari dari modulo Euclidean: jam berakhir pada 12, menit pada 60, hari kerja pada 7.

🔐

Mahasiswa kriptografi

Kekuatan gaya RSA: 4¹³ mod 497

Pangkalan 4 Eksponen 13 Modulus m 497

4¹³ adalah 67.108.864 — tetapi Anda tidak memerlukan angka itu. Penggandaan dan kuadrat cepat mengurangi mod 497 setelah setiap langkah dan mengembalikan 445 hanya dalam beberapa operasi. RSA nyata melakukan hal yang sama dengan eksponen 2048-bit, itulah sebabnya kriptografi kunci publik cukup cepat untuk digunakan pada setiap koneksi HTTPS.

🔗

Referensi

Sitasi kalkulator ini

APA & MLA

Gunakan salah satu format ini untuk menyitasi kalkulator dalam makalah, laporan, atau daftar sumber.

APA

MLA

📄

Ulasan mendalam

Modulo, Sisa, dan Mengapa −7 mod 3 Memiliki Tiga Jawaban

3 bab · 5 menit membaca

Modulo terlihat seperti operasi paling sederhana dalam pemrograman — hanya sisa setelah pembagian — hingga angka negatif muncul dan bahasa Anda tidak sesuai dengan angka di sebelahnya. Kalkulator ini menampilkan setiap jawaban sekaligus sehingga Anda selalu tahu konvensi mana yang sedang Anda lihat, dan menambahkan eksponensial modular untuk kriptografi dan kasus hashing di mana modulo benar-benar berfungsi.

Sisanya tidak unik — hasil bagi yang menentukannya

Pembagian bilangan bulat menghasilkan hasil bagi dan sisa yang dihubungkan oleh satu identitas: a = q·n + r. Masalahnya adalah persamaan tunggal ini memiliki lebih dari satu solusi bilangan bulat jika ada tanda-tanda yang terlibat. Tentukan cara membulatkan hasil bagi dan sisanya akan mengikuti secara otomatis.

Bulatkan hasil bagi menuju nol (pembagian terpotong) dan sisanya akan berakhir dengan tanda pembagian a. Bulatkan ke arah negatif tak terhingga (pembagian berlantai) dan sisanya diberi tanda pembagi n. Bersikeras bahwa sisanya non-negatif dan Anda akan mendapatkan konvensi Euclidean yang digunakan dalam matematika. Tidak ada satupun yang 'salah' — ketiganya merupakan jawaban yang konsisten secara internal terhadap pertanyaan yang benar-benar ambigu.

Mengapa JavaScript dan Python tidak setuju

-7 % 3 adalah -1 dalam JavaScript, C, C++, Java, Go, dan Rust, tetapi 2 dalam Python dan Ruby. Bahasa keluarga C distandarisasi pada pembagian terpotong beberapa dekade yang lalu, sehingga % mereka tetap mempertahankan tanda dividen. Perancang Python memilih pembagian bertingkat karena membuat % berperilaku baik untuk penggunaan nyata yang paling umum — membungkus indeks ke dalam rentang tetap — di mana Anda hampir selalu menginginkan hasil yang tidak negatif.

Ini sering menjadi sumber bug saat mem-porting kode atau memanggil melintasi batas bahasa. Pola seperti arr[i % len] aman di Python meskipun i negatif, tetapi di JavaScript pola ini dapat diindeks dengan angka negatif. Perbaikan portabelnya adalah dengan memaksakan hasil Euclidean secara eksplisit: ((i % len) + len) % len.

Dimana modulo sebenarnya penting: jam, hashing, dan kripto

Matematika menyeluruh. Jam (mod 12 atau 24), hari kerja (mod 7), dan sudut (mod 360) semuanya merupakan modulo Euclidean. Apa pun yang disikluskan adalah modulo yang menyamar.

Hashing dan penyeimbangan beban. Tabel hash menempatkan kunci di hash(key) mod numBuckets bucket. Karena hash sering kali ditandatangani, di sinilah letak bug sisa negatif — dan mengapa konvensi Euclidean adalah yang Anda inginkan untuk indeks keranjang yang valid.

Kriptografi. RSA dan Diffie-Hellman dibangun di atas eksponen modular: menaikkan suatu bilangan ke modulo pangkat yang besar dari suatu bilangan yang besar. Menghitung daya secara langsung tidak mungkin dilakukan (nilai antara akan memiliki banyak digit secara astronomis), sehingga metode kuadrat-dan-kalikan cepat mengurangi modulo m setelah setiap langkah. Tab Eksponensial Modular di kalkulator ini menjalankan algoritme yang sama persis melalui BigInt.

❓

Pertanyaan

Pertanyaan umum

7 pertanyaan

Mengapa Python dan JavaScript memberikan jawaban berbeda untuk −7 mod 3?+

Mereka menggunakan konvensi pembagian yang berbeda. JavaScript (seperti C, Java, Go, dan Rust) menggunakan pembagian terpotong, sehingga sisanya mengambil tanda pembagian: −7 % 3 = −1. Python (seperti Ruby) menggunakan pembagian bertingkat, sehingga sisanya mengambil tanda pembagi: −7 % 3 = 2. Keduanya memenuhi a = q·n + r — keduanya hanya mengambil hasil bagi yang berbeda. Untuk mendapatkan hasil non-negatif gaya Python di JavaScript, gunakan ((a % n) + n) % n.

Apa itu −7 mod 3?+

Itu tergantung pada konvensi. Terpotong (JavaScript/C): −1. Berlantai (Python/Ruby): 2. Euclidean (matematika): 2. Jawaban Euclidean 2 adalah jawaban yang dimaksudkan ketika matematikawan menulis −7 ≡ 2 (mod 3), karena sisa Euclidean selalu antara 0 dan |n| − 1.

Apakah modulo sama dengan sisanya?+

Untuk bilangan positif, ya — keduanya identik. Perbedaannya hanya muncul pada operan negatif, dengan 'sisa' (sering kali merupakan hasil terpotong yang dihasilkan CPU Anda) bisa menjadi negatif, sedangkan 'modulo' dalam pengertian matematis adalah residu Euclidean non-negatif. Karena bahasa yang berbeda menggunakan kata tersebut untuk konvensi yang berbeda, kalkulator ini menunjukkan semuanya sehingga tidak ada ambiguitas.

Bisakah pembaginya nol atau negatif?+

Pembagi tidak boleh nol — pembagian dengan nol tidak terdefinisi, sehingga kalkulator menunjukkan kesalahan untuk n = 0. Pembagi negatif benar-benar valid dan tepat di tempat konvensi berbeda: dengan pembagian bertingkat, sisanya mengikuti tanda pembagi, sehingga jawabannya bisa negatif bahkan ketika pembagiannya positif (misalnya 7 mod −3 = −2 dengan Python).

Untuk apa eksponen modular digunakan?+

Ini menghitung (base^exp) mod m secara efisien dan merupakan operasi inti kriptografi kunci publik. Enkripsi RSA, dekripsi, dan pertukaran kunci Diffie-Hellman semuanya meningkatkan angka menjadi modulo pangkat besar dalam jumlah besar. Algoritme kuadrat dan perkalian yang cepat mengurangi modulo m setelah setiap langkah sehingga nilai perantara tidak pernah meledak — memungkinkan Anda menangani eksponen ribuan bit secara instan. Tab Eksponen Modular menunjukkan hal ini dan bahkan mendukung eksponen negatif melalui invers modular.

Apakah kalkulator ini menangani angka yang sangat besar?+

Ya. Penghitungan pembagi dan eksponensial modular menggunakan JavaScript BigInt secara internal, sehingga bilangan bulat dengan ratusan digit dihitung secara tepat tanpa pembulatan floating-point. Input non-integer (desimal) juga didukung, namun input tersebut dievaluasi dalam floating point dan ditandai demikian.

Apa itu invers modular?+

Kebalikan modular dari modulo m adalah bilangan x dengan a·x ≡ 1 (mod m). Ia hanya ada jika a dan m adalah koprima (pembagi persekutuan terbesarnya adalah 1) dan dihitung dengan algoritma Euclidean yang diperluas. Tab Eksponen Modular menggunakannya untuk mengevaluasi eksponen negatif — misalnya 3⁻¹ mod 11 = 4, karena 3·4 = 12 ≡ 1 (mod 11). Jika tidak ada invers (gcd ≠ 1), kalkulator akan mengatakan demikian dan bukannya memberikan jawaban yang salah.

Unduh PDF satu halaman berisi hasil Anda. Masukkan alamat email untuk menerima kiat kalkulator sesekali. Tanpa spam, dan Anda dapat berhenti berlangganan kapan saja. Privasi.

Kalkulator Modulo

masukan

Hasil

(dasar ^pengalaman) mod m

Hasil

Mengapa konvensi tidak setuju

Dimana sisanya mendarat

Cara menggunakan kalkulator ini

Masukkan dividen dan pembagi

Baca ketiga sisanya

Bandingkan konvensi atau beralih ke eksponensial modular

Rumus dan metodologi

Penjelasan istilah penting

Contoh dalam kehidupan nyata

Kode porting pengembang

Aritmatika jam

Mahasiswa kriptografi

Sitasi kalkulator ini

Modulo, Sisa, dan Mengapa −7 mod 3 Memiliki Tiga Jawaban

Sisanya tidak unik — hasil bagi yang menentukannya

Mengapa JavaScript dan Python tidak setuju

Dimana modulo sebenarnya penting: jam, hashing, dan kripto

Pertanyaan umum

Dapatkan PDF hasil dengan merek Calculover

Kalkulator Modulo

masukan

Hasil

(dasar pengalaman) mod m

Hasil

Mengapa konvensi tidak setuju

Dimana sisanya mendarat

Cara menggunakan kalkulator ini

Masukkan dividen dan pembagi

Baca ketiga sisanya

Bandingkan konvensi atau beralih ke eksponensial modular

Rumus dan metodologi

Penjelasan istilah penting

Contoh dalam kehidupan nyata

Sitasi kalkulator ini

Modulo, Sisa, dan Mengapa −7 mod 3 Memiliki Tiga Jawaban

Sisanya tidak unik — hasil bagi yang menentukannya

Mengapa JavaScript dan Python tidak setuju

Dimana modulo sebenarnya penting: jam, hashing, dan kripto

Pertanyaan umum

Dapatkan PDF hasil dengan merek Calculover

Jelajahi lebih lanjut

kalkulator terkait

Panduan & artikel

(dasar ^pengalaman) mod m