Deret Fibonacci — 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... — adalah salah satu pola paling terkenal dalam matematika. Setiap angka merupakan penjumlahan dari dua angka sebelumnya, dan semakin dalam Anda menyelaminya, semakin banyak pula urutan yang terungkap: rumus bentuk tertutup, kaitan mengejutkan dengan rasio emas, dan penampakan di seluruh alam. Kalkulator ini menemukan suku apa pun dengan tepat, mencantumkan barisannya, dan memvisualisasikan konvergensi rasio emas tersebut.
Bagaimana urutannya dibangun
Peraturannya sangat sederhana: mulai dengan 0 dan 1, lalu setiap suku baru merupakan jumlah dari dua suku sebelumnya. Hasilnya adalah 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, dan seterusnya selamanya. Karena setiap suku hanya bergantung pada dua suku terakhir, Anda dapat menghitung F(n) dengan berjalan dari bawah — persis seperti yang dilakukan kalkulator ini, menggunakan bilangan bulat presisi sewenang-wenang sehingga tidak ada yang dibulatkan. Suku-suku tersebut tumbuh secara geometris: masing-masing berukuran sekitar 1,618 kali dari suku terakhir, yang merupakan petunjuk pertama tentang rasio emas yang tersembunyi di dalam barisan tersebut.
Rumus Binet: jalan pintas ke istilah apa pun
Anda tidak perlu mengulang untuk menemukan F(n). Rumus Binet memberikannya secara langsung: F(n) = (phi^n - psi^n) / sqrt(5), dengan phi = (1 + sqrt(5))/2 adalah rasio emas dan psi = (1 - sqrt(5))/2 adalah konjugasinya. Sepertinya akan menghasilkan kekacauan yang tidak rasional, namun selalu berakhir pada bilangan bulat, karena bagian yang tidak rasional akan hilang. Sejak |psi| kurang dari 1, suku psi^n menghilang seiring bertambahnya n, jadi F(n) hanyalah bilangan bulat terdekat dengan phi^n / sqrt(5). Kalkulator ini menampilkan estimasi Binet di samping nilai BigInt yang tepat sehingga Anda dapat melihat kesesuaian keduanya.
Koneksi rasio emas
Bagilah bilangan Fibonacci apa pun dengan bilangan sebelumnya — 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 — dan jawabannya akan ada pada phi ≈ 1,6180339887, rasio emas. Rasionya bergantian, overshooting dan undershooting phi, dengan jarak yang mengecil dengan cepat. Phi mempunyai keistimewaan tersendiri: ia adalah satu-satunya bilangan positif yang mana phi = 1 + 1/phi, dan ia muncul dalam segi lima, geometri spiral, serta seni dan arsitektur yang bertujuan untuk proporsi seimbang. Tab Rasio Emas di halaman ini memetakan konvergensi secara langsung terhadap garis referensi di phi.
Bilangan Lucas, indeks negatif, dan sifatnya
Pertahankan pengulangan yang sama tetapi ubah benihnya dan Anda mendapatkan seluruh rangkaian rangkaian. Biji 2 dan 1 memberikan bilangan Lucas (2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, ...), yang bertautan dengan bilangan Fibonacci dalam identitas yang elegan. Urutannya bahkan berjalan mundur: aturan negafibonacci F(-n) = (-1)^(n+1) F(n) memperluasnya ke indeks negatif dengan tanda bergantian. Di alam liar, bilangan Fibonacci menghitung spiral pada kepala bunga matahari dan buah pinus serta susunan daun di sekitar batang — bukan karena alam "mengetahui" urutannya, namun karena mengemas benih atau daun pada sudut emas (berasal dari phi) adalah cara yang efisien untuk mengisi ruang.