Faktorial dari n, ditulis n!, adalah hasil kali setiap bilangan bulat dari 1 sampai n, dan menghitung berapa banyak cara untuk mengurutkan n bilangan berbeda. Ini adalah salah satu ide paling berguna dalam penghitungan (kombinatorik) dan muncul di mana saja mulai dari probabilitas hingga algoritma. Kalkulator ini menghitung n! tepatnya untuk bilangan besar, dan meluas ke permutasi, kombinasi, dan faktorial ganda.
Apa yang dimaksud dengan faktorial
tidak! menjawab pertanyaan sederhana: dalam berapa banyak urutan berbeda Anda dapat menyusun n item berbeda? Dengan 3 buku ada 3! = 6 pesanan; dengan 5 ada 120; dengan 10 ada lebih dari 3,6 juta. Alasannya adalah prinsip perkalian: Anda mempunyai n pilihan untuk posisi pertama, n-1 untuk posisi kedua, dan seterusnya hingga 1. Kalikan semuanya dan Anda mendapatkan n!. Karena setiap item tambahan mengalikan hitungan dengan angka yang lebih besar, faktorial bertambah lebih cepat dibandingkan eksponensial apa pun.
Mengapa 0! = 1
Kelihatannya aneh kalau faktorial dari nol adalah satu, bukan nol. Ada dua alasan bagus. Pertama, hanya ada satu cara untuk menyusun himpunan kosong — susunan kosong — sehingga hitungannya harus 1. Kedua, mendefinisikan 0! = 1 mempertahankan rumus kombinasi nCr = n! / (r!(n-r)!) mengerjakan bagian pinggir: memilih 0 item dari n, atau semua n item, keduanya akan memberikan tepat 1 arah, dan itu hanya akan keluar ketika 0! = 1. Matematikawan menyebutnya sebagai hasil kali kosong, dan hasil kali kosong selalu bernilai 1.
Permutasi vs. kombinasi
Keduanya mengambil r item dari kumpulan n, namun berbeda dalam urutan penting. permutasi (nPr = n!/(n-r)!) memperlakukan ABC dan CBA sebagai hal yang berbeda — gunakan untuk posisi finis dalam perlombaan, atau kode PIN. Sebuah kombinasi (nCr = n!/(r!(n-r)!)) memperlakukannya sama — gunakan untuk nomor lotre, permainan poker, atau komite yang kursinya tidak diberi label. Karena setiap kombinasi dapat disusun ulang r! cara, nPr selalu r! kali nCr, jadi permutasi tidak pernah kurang dari kombinasi.
Faktorial ganda dan n sangat besar
faktorial ganda n!! mengalikan setiap suku lainnya: 9!! = 9 x 7 x 5 x 3 x 1 = 945. Hal ini muncul pada rumus volume bola dan integral tertentu. Untuk n yang sangat besar, faktorial eksaknya mempunyai ribuan digit, jadi alat ini juga melaporkan pendekatan Stirling — ln(n!) ~= n ln n - n + 0.5 ln(2 pi n) — yang memberikan jumlah digit dan urutan besarannya. Meski begitu, angka pastinya dihitung dengan bilangan bulat presisi sewenang-wenang, sehingga tidak ada yang dibulatkan.