Kalkulator Harga Opsi Black-Scholes

S = harga dasar, K = strike, T = waktu kedaluwarsa dalam beberapa tahun, r = tingkat bebas risiko, σ = volatilitas tersirat. d1 dan d2 membakukan nilai uang opsi untuk distribusi normal.

N(·) adalah CDF normal standar. Harga pembelian adalah hasil yang diharapkan (S·N(d1)) dikurangi potongan harga pemogokan (K·e^(−rT)·N(d2)).

Delta adalah per US$1 pergerakan di S. Gamma adalah kelengkungan Delta. Vega dilaporkan per 1% perubahan volume (Vega tahunan ÷ 100). Theta adalah per hari (Theta tahunan ÷ 365). Rho adalah per 1% perubahan tarif (Rho tahunan ÷ 100).

Author: Quinn Sumner - Penyunting

Owner: Quinn Sumner - Penanggung jawab editorial

Reviewer: Calculover Editorial Review - Tinjauan metodologi kuantitatif, verifikasi sumber, dan keterbatasan

Last reviewed: 2026-05-16

Last verified: 2026-05-16

Data effective: 2026-05-16

Kalkulator Penetapan Harga Opsi Black-Scholes menerapkan rumus Eropa Black-Scholes-Merton (BSM) bentuk tertutup (Black & Scholes, 1973; Merton, 1973) untuk menentukan harga call dan put: Call = S·N(d1) − K·e^(−rT)·N(d2); Masukkan = K·e^(−rT)·N(−d2) − S·N(−d1), dengan d1 = [ln(S/K) + (r + σ²/2)·T] / (σ·√T) dan d2 = d1 − σ·√T. Penerapannya mengasumsikan tingkat bebas risiko (r) yang digabungkan secara terus menerus, volatilitas konstan (σ), perdagangan berkelanjutan, dan hasil dividen berkelanjutan nol — perluasan dividen (q > 0) TIDAK dimodelkan. Fungsi distribusi kumulatif normal standar N(·) didekati melalui rumus Abramowitz & Stegun 7.1.26 (perkiraan polinomial rasional Hart, kesalahan maksimum ~7,5×10⁻⁸ pada garis nyata). Yunani dihitung secara analitis dari pohon rumus yang sama per Hull, Options, Futures, dan Other Derivatives 11e, Ch. 19: Delta_call = N(d1), Delta_put = N(d1) − 1, Gamma = φ(d1) / (S·σ·√T), Vega_annual = S·φ(d1)·√T, Theta_call_annual = −S·φ(d1)·σ / (2·√T) − r·K·e^(−rT)·N(d2), Rho_call_annual = K·T·e^(−rT)·N(d2). Theta diubah skalanya menjadi per hari kalender (tahunan ÷ 365), Vega dan Rho menjadi per 1 poin persentase (tahunan ÷ 100). Kasus tepi: ketika σ·√T ≤ 0 kalkulator mengembalikan forward deterministik max(S − K·e^(−rT), 0) untuk panggilan (dan ekspresi simetris untuk put) dengan Delta 1 atau 0 (panggilan) / −1 atau 0 (put) dan nol orang Yunani yang lebih tinggi. Pemecahan volatilitas tersirat TIDAK diterapkan — pengguna memasukkan σ secara langsung. Perbandingan skenario ITM / ATM / OTM mengevaluasi rumus BSM yang sama pada S = K·1.10, K, dan K·0.90 (call; dibalik untuk put) dengan mempertahankan K, T, σ, dan r konstan sehingga trade-offnya murni metodologi dan bukan input-noise.

Assumption: Input adalah nilai yang dimasukkan pengguna; kalkulator tidak mengambil kutipan langsung, hasil dividen, atau suku bunga bebas risiko yang sesuai dengan struktur jangka waktu.

Assumption: Latihan ala Eropa (hanya pada saat habis masa berlakunya). Premi eksekusi awal (early-exercise premium) yang berlaku di Amerika tidak dimodelkan — harga BSM adalah batas bawah untuk pembelian Amerika pada saham-saham yang tidak membayar dividen dan batas yang tidak terlalu ketat untuk pembelian Amerika (yang membawa nilai eksekusi awal yang berarti).

Assumption: Tingkat bebas risiko r yang digabungkan secara terus-menerus dan volatilitas konstan σ selama umur opsi. Tidak ada hasil dividen (q = 0). Tanpa biaya transaksi, tanpa bid-ask spread, tanpa biaya pendanaan.

Assumption: Theta dilaporkan per hari kalender (tahunan 365), bukan per hari perdagangan. Vega adalah per 1 poin persentase volatilitas tersirat. Rho adalah per 1 poin persentase dari tingkat bebas risiko.

Assumption: Suku bunga bebas risiko r diharapkan menjadi hasil gabungan yang disesuaikan dengan T (hasil pari Treasury untuk tenor kadaluwarsa); kalkulator tidak mengkonversi antara penggabungan sederhana, setengah tahunan, dan berkelanjutan.

Pasar opsi riil menunjukkan senyuman volatilitas, kecondongan, dan struktur jangka waktu yang tidak ditangkap oleh σ Black-Scholes tunggal. Opsi out-of-the-money put (perlindungan terhadap kecelakaan) dan siklus pendapatan secara konsisten diperdagangkan lebih kaya daripada BSM.

Opsi gaya Amerika – sebagian besar opsi ekuitas AS – dapat bernilai lebih tinggi daripada harga BSM Eropa, terutama pembelian ITM dalam dan panggilan pra-dividen. Untuk penetapan harga di Amerika, gunakan pohon binomial atau kisi perbedaan hingga.

BSM mengasumsikan pengembalian log-normal; distribusi keuntungan riil memiliki ekor dan kesenjangan yang besar. Model difusi lompat (Merton 1976) atau volatilitas stokastik (Heston 1993) mengatasi beberapa hal ini.

Outputnya adalah nilai wajar teoritis, bukan kuotasi — bid/ask, likuiditas, posisi dealer, dan penawaran/permintaan dapat menggerakkan harga pasar aktual beberapa persen dari harga BSM.

Asumsi bebas dividen berarti kalkulator melebih-lebihkan harga panggilan dan mengecilkan harga saham yang membayar dividen. Untuk SPX, NDX, RUT, dan sebagian besar perusahaan berkapitalisasi besar, gunakan ekstensi Merton (1973) yang disesuaikan dengan hasil dividen secara eksternal, atau kurangi nilai sekarang dari dividen yang diharapkan dari S sebelum menentukan harga.

BSM secara sistematis memberi harga lebih rendah pada penempatan OTM ("kemiringan volatilitas") dan dapat menghasilkan nilai waktu negatif untuk penempatan ITM Eropa yang mendalam - keduanya terdokumentasi dengan baik dalam literatur akademis. Untuk opsi indeks ekuitas, gunakan permukaan IV yang diterbitkan bursa atau volume tersirat yang disediakan broker, bukan nomor BSM volume datar tunggal.

Hasil adalah nilai teoritis yang dihasilkan untuk tujuan pendidikan dan analitis saja. Ini bukan nasihat keuangan, ajakan untuk membeli atau menjual sekuritas atau derivatif, atau jaminan kinerja di masa depan. Perdagangan opsi melibatkan risiko kerugian yang besar, termasuk potensi kerugian seluruh premi yang dibayarkan untuk opsi panjang. Persyaratan margin berlaku untuk opsi pendek. Volatilitas di masa lalu bukanlah prediktor yang dapat diandalkan untuk volatilitas di masa depan. Konsultasikan dengan profesional keuangan terdaftar atau spesialis opsi yang berkualifikasi dan terdaftar sebelum membuat keputusan investasi apa pun.

Professional guidance: Kalkulator Penetapan Harga Opsi Black-Scholes hanya untuk pendidikan opsi-matematika. Ini bukan nasihat investasi, pajak, hukum, atau keuangan. Opsi melibatkan risiko besar termasuk kerugian total premi untuk posisi long dan kerugian yang secara teoritis tidak terbatas untuk beberapa posisi short. Konsultasikan dengan penasihat investasi terdaftar atau broker berlisensi sebelum melakukan perdagangan opsi.

Investor Bulletin: An Introduction to Options - Investor.gov (SEC)

Options: Essential Concepts and Trading Strategies - OCC — The Options Clearing Corporation

Black-Scholes-Merton model coverage in CFA Program Level II — Derivatives - CFA Institute

VIX White Paper — Implied Volatility Methodology - Cboe Global Markets

Selected Interest Rates (H.15) — Treasury Constant Maturity rates used as the risk-free rate input - Federal Reserve Board

Abramowitz & Stegun, Handbook of Mathematical Functions, formula 7.1.26 (normal CDF approximation) - U.S. National Bureau of Standards (now NIST)