Une fraction continue réécrit un nombre comme une succession de divisions entières imbriquées [a₀; a₁, a₂, …] et révèle au passage ses meilleures approximations rationnelles à chaque niveau de précision. Ce guide explique comment construire le développement, à quoi servent les réduites et quels liens unissent les fractions continues à l’algorithme d’Euclide et aux fractions simples.

Construction du développement

On sépare à plusieurs reprises la partie entière d’un nombre de son reste fractionnaire, puis on inverse ce reste. Formellement, an = floor(xn) et xn+1 = 1 / (xn − an). Appliquer cette méthode à une fraction exacte revient à exécuter l’algorithme d’Euclide sur son numérateur et son dénominateur : les quotients obtenus sont précisément les quotients partiels de la fraction continue. C’est aussi pourquoi tout rationnel a un développement fini : l’algorithme atteint un reste nul en un nombre fini d’étapes.

Utilité des réduites

Arrêter le développement après n termes donne une réduite pn/qn, calculée par les récurrences pn = an·pn−1 + pn−2 et qn = an·qn−1 + qn−2. Les réduites sont, de façon démontrable, les meilleures approximations rationnelles possibles pour leur dénominateur : aucune fraction ayant un dénominateur aussi petit n’est plus proche. C’est pourquoi 22/7 et 355/113 sont les approximations classiques de π, pourquoi les propositions de calendrier utilisent des réduites pour approcher la durée de l’année solaire et pourquoi les engrenages mécaniques s’appuient sur elles quand un rapport exact est impossible à fabriquer.

Développements finis et infinis

Tout rationnel a/b a une fraction continue finie et sa dernière réduite reconstitue exactement a/b ; l’onglet Étapes montre cet arrêt. À l’inverse, le développement d’un irrationnel est infini. Comme une valeur décimale saisie n’est qu’une approximation finie, le calculateur affiche le nombre de termes demandé (jusqu’à 30) et indique que le résultat est tronqué, et non exact, si le développement continue. Pour les problèmes portant directement sur des fractions, consultez le calculateur de fractions, le calculateur de factorisation en nombres premiers et le calculateur modulo, qui expose l’opération de reste utilisée ici.