La suite de Fibonacci — 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … — est l’un des motifs les plus célèbres des mathématiques. Chaque nombre est la somme des deux précédents ; à mesure que l’on avance, la suite révèle une formule fermée, un lien étonnant avec le nombre d’or et de nombreuses apparitions dans la nature. Ce calculateur détermine exactement n’importe quel terme, affiche la suite et visualise cette convergence vers le nombre d’or.
Construction de la suite
La règle est très simple : partez de 0 et 1, puis additionnez les deux termes précédents pour obtenir chaque nouveau terme. On obtient ainsi 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, et ainsi de suite. Comme chaque terme ne dépend que des deux précédents, F(n) se calcule en avançant depuis le début : c’est exactement ce que fait ce calculateur, avec des entiers de précision arbitraire pour éviter tout arrondi. Les termes croissent approximativement de façon géométrique : chacun vaut environ 1,618 fois le précédent, premier indice de la présence du nombre d’or dans la suite.
La formule de Binet : trouver directement n’importe quel terme
Il n’est pas nécessaire de parcourir la suite pour trouver F(n). La formule de Binet donne directement le résultat : F(n) = (φ^n − ψ^n) / √5, où φ = (1 + √5)/2 est le nombre d’or et ψ = (1 − √5)/2 son conjugué. La formule semble donner une valeur irrationnelle, mais le résultat est toujours un entier, car les parties irrationnelles s’annulent. Comme |ψ| est inférieur à 1, le terme ψ^n devient négligeable lorsque n augmente ; F(n) est donc l’entier le plus proche de φ^n / √5. Ce calculateur affiche l’estimation de Binet à côté de la valeur exacte calculée avec BigInt pour comparer les deux.
Le lien avec le nombre d’or
Divisez un nombre de Fibonacci par le précédent — 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 — et les résultats se rapprochent de φ ≈ 1,6180339887, le nombre d’or. Les rapports alternent au-dessus et au-dessous de φ, et l’écart diminue rapidement. φ possède une propriété remarquable : c’est l’unique nombre positif qui vérifie φ = 1 + 1/φ. On le retrouve dans les pentagones, la géométrie des spirales et certaines œuvres d’art ou d’architecture recherchant des proportions équilibrées. L’onglet Nombre d’or représente directement cette convergence et la compare à une ligne de référence égale à φ.
Nombres de Lucas, indices négatifs et nature
En conservant la récurrence mais en changeant les graines, on obtient toute une famille de suites. Les graines 2 et 1 produisent les nombres de Lucas (2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, …), liés aux nombres de Fibonacci par d’élégantes identités. La suite peut aussi se parcourir à rebours : la règle negafibonacci, F(−n) = (−1)^(n+1) F(n), la prolonge aux indices négatifs avec des signes alternés. Dans la nature, les nombres de Fibonacci comptent parfois les spirales des tournesols et des pommes de pin ainsi que la disposition des feuilles le long d’une tige. Ce n’est pas parce que la nature « connaît » la suite, mais parce qu’une disposition selon l’angle d’or, dérivé de φ, permet de remplir l’espace efficacement.