La factorielle de n, notée n!, est le produit de tous les entiers de 1 à n ; elle indique de combien de façons on peut ordonner n objets distincts. C’est l’une des notions fondamentales du dénombrement (combinatoire), utilisée aussi bien en probabilité qu’en algorithmique. Ce calculateur calcule n! exactement pour les grandes valeurs et prend aussi en charge les permutations, les combinaisons et la double factorielle.
Que signifie une factorielle
n! répond à une question simple : de combien de façons différentes peut-on ordonner n objets distincts ? Avec 3 livres, il existe 3! = 6 ordres ; avec 5, il y en a 120 ; avec 10, plus de 3.6 millions. Le principe de multiplication l’explique : n choix pour la première position, n-1 pour la deuxième, et ainsi de suite jusqu’à 1. Leur produit donne n!. Chaque nouvel objet multipliant le total par un nombre toujours plus grand, les factorielles croissent plus vite que toute fonction exponentielle.
Pourquoi 0! = 1
Il peut sembler étrange que la factorielle de zéro soit égale à 1 plutôt qu’à 0. Deux raisons le justifient. D’abord, il existe exactement une façon d’ordonner un ensemble vide : ne rien faire ; le dénombrement vaut donc 1. Ensuite, définir 0! = 1 permet à la formule nCr = n! / (r!(n-r)!) de fonctionner aux limites : choisir 0 élément parmi n, ou les n éléments, doit donner une seule possibilité. Cela n’est vrai que si 0! = 1. Les mathématiciens appellent cela un produit vide, toujours égal à 1.
Permutations et combinaisons
Les deux notions consistent à choisir r éléments parmi n, mais diffèrent selon que l’ordre compte ou non. Une permutation (nPr = n!/(n-r)!) distingue ABC de CBA : elle sert, par exemple, à classer des coureurs ou à compter des codes PIN. Une combinaison (nCr = n!/(r!(n-r)!)) les considère identiques : elle sert pour les numéros de loterie, les mains de poker ou un comité dont les sièges ne sont pas attribués. Chaque combinaison pouvant être ordonnée de r! façons, nPr vaut toujours r! fois nCr ; les permutations sont donc au moins aussi nombreuses que les combinaisons.
Doubles factorielles et grandes valeurs de n
La double factorielle n!! multiplie un terme sur deux : 9!! = 9 x 7 x 5 x 3 x 1 = 945. Elle apparaît dans les formules de volume des sphères et certaines intégrales. Pour les grandes valeurs de n, la factorielle exacte compte des milliers de chiffres ; cet outil affiche donc aussi l’approximation de Stirling — ln(n!) ~= n ln n - n + 0.5 ln(2 pi n) — qui donne le nombre de chiffres et l’ordre de grandeur. Les chiffres exacts sont néanmoins calculés avec des entiers de précision arbitraire : aucun arrondi n’est effectué.