Pourquoi mettre les écarts au carré
Soustraire la moyenne à chaque observation donne des écarts dont la somme est nulle. Mettre ces écarts au carré empêche les valeurs positives et négatives de s’annuler. La variance est la moyenne des écarts au carré, calculée avec le dénominateur choisi ; l’écart-type est la racine carrée de cette variance et revient ainsi à l’unité d’origine. [1]
Écart-type de population = √[Σ(x − μ)² ÷ N]
Écart-type d’échantillon = √[Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1)]
La formule de population décrit l’ensemble complet que vous avez défini comme population. La formule d’échantillon utilise n − 1 pour estimer la variance de la population à partir d’observations dont la moyenne a également été estimée sur cet échantillon.
Exemple détaillé : cinq observations
Prenons les valeurs 2, 4, 4, 4 et 6. Leur somme est 20 et leur moyenne est 4.
| Valeur | Écart par rapport à 4 | Écart au carré |
|---|---|---|
| 2 | −2 | 4 |
| 4 | 0 | 0 |
| 4 | 0 | 0 |
| 4 | 0 | 0 |
| 6 | 2 | 4 |
| Total | 0 | 8 |
Si ces cinq valeurs constituent toute la population étudiée, la variance est 8 ÷ 5 = 1.6 et l’écart-type est d’environ 1.2649.
S’il s’agit d’un échantillon utilisé pour estimer la variabilité d’une population plus large, la variance de l’échantillon est 8 ÷ 4 = 2 et l’écart-type de l’échantillon est d’environ 1.4142. Les données n’ont pas changé : seul l’objectif et le dénominateur diffèrent.
Choisir le dénominateur avant de comparer les résultats
Les fonctions des tableurs distinguent souvent l’écart-type d’échantillon et celui de population. Deux outils peuvent donner des résultats corrects mais différents parce qu’ils utilisent des paramètres par défaut différents.
Une observation unique a un écart-type de population nul si elle constitue toute la population, mais elle ne permet pas de définir une variance d’échantillon avec la formule n − 1. Un ensemble de données vide n’a ni moyenne ni écart-type.
La correction n − 1 rend la variance d’échantillon non biaisée selon les hypothèses courantes d’échantillonnage indépendant et identiquement distribué. Cela ne rend pas la racine carrée exactement non biaisée comme estimateur de l’écart-type et ne corrige pas un plan d’échantillonnage biaisé.
Interpréter la valeur dans son unité d’origine
Si les durées de traitement sont mesurées en minutes, leur écart-type est également en minutes. La variance s’exprime en minutes carrées, une unité généralement moins intuitive à communiquer.
Un écart-type plus élevé indique une plus grande dispersion relativement à la moyenne selon cet indicateur, mais la notion de « grand » dépend du contexte. Un écart-type de cinq secondes peut être important dans un processus et négligeable dans un autre.
L’écart-type seul ne révèle ni l’asymétrie, ni les groupes, ni les valeurs aberrantes, ni les tendances temporelles. Examinez les données ou un graphique adapté. Deux ensembles peuvent avoir la même moyenne et le même écart-type tout en présentant des distributions très différentes.
L’écart-type n’est pas l’erreur-type
L’écart-type décrit la variabilité entre les observations. L’erreur-type décrit la variabilité d’échantillonnage d’une estimation, telle que la moyenne d’un échantillon, selon un modèle donné.
Pour des observations indépendantes issues d’une même distribution, l’erreur-type estimée de la moyenne est souvent égale à écart-type de l’échantillon ÷ √n. Un plus grand nombre d’observations peut réduire cette incertitude sans diminuer la variabilité des observations individuelles.
N’étiquetez pas une barre d’erreur « écart-type » s’il s’agit en réalité d’une erreur-type ou d’un intervalle de confiance. La représentation peut se ressembler tout en répondant à une autre question.
Attention aux valeurs extrêmes et aux données manquantes
La mise au carré donne un poids important aux grands écarts. Une valeur aberrante peut donc modifier fortement l’écart-type. Recherchez son origine au lieu de la supprimer simplement parce qu’elle dérange. Une erreur de mesure, un événement rare réel et l’appartenance à une population distincte appellent des réponses différentes.
Pour des données asymétriques ou comportant de nombreuses valeurs aberrantes, fournissez aussi des indicateurs complémentaires comme la médiane et l’écart interquartile. Précisez si les observations manquantes ont été exclues et si des transformations ont été appliquées.
Pour une liste unique de valeurs numériques finies, indiquez l’effectif et la moyenne avec l’écart-type, et précisez si vous avez utilisé le dénominateur d’échantillon ou de population. Le calcul seul ne permet pas de savoir si les observations sont représentatives ou indépendantes.
Questions fréquentes
Pourquoi les écarts-types d’échantillon et de population diffèrent-ils ?
La formule de population divise la somme des écarts au carré par N. Pour estimer la variabilité d’une population à partir d’un échantillon, la variance d’échantillon divise par n−1.
Un écart-type peut-il être négatif ?
Non. Il s’agit de la racine carrée d’une variance non négative. Un résultat négatif signale un problème de calcul ou de précision numérique.
Un faible écart-type signifie-t-il que mon estimation est exacte ?
Pas nécessairement. Une faible dispersion n’exclut ni un biais, ni une erreur de mesure, ni un échantillon non représentatif. L’exactitude et la variabilité sont deux notions différentes.
Sources et notes de calcul
Les références principales figurent ci-dessous. Les dates, limites et conditions des produits peuvent changer ; vérifiez les détails applicables avant d’agir.
Utilisez ce guide avec discernement. Les exemples illustrent une méthode de calcul et ne garantissent aucun résultat. La pertinence d’un résultat dépend des définitions, mesures et hypothèses utilisées.