La loi normale, aussi appelée courbe en cloche, est l’une des distributions de probabilité les plus utilisées en statistique. Elle modélise notamment certaines mesures biologiques, les résultats d’examens, les erreurs de mesure et les tolérances de fabrication. Son utilité dépend toutefois de l’adéquation du modèle aux données.
La règle 68-95-99.7
Environ 68 % des valeurs se situent à moins d’un écart-type de la moyenne Environ 95 % des valeurs se situent à moins de deux écarts-types Environ 99.7 % des valeurs se situent à moins de trois écarts-types À titre d’exemple, si la taille moyenne d’un homme adulte est de 70 pouces et l’écart-type de 3 pouces, le modèle estime qu’environ 68 % des tailles se situent entre 67 et 73 pouces, 95 % entre 64 et 76 pouces et 99.7 % entre 61 et 79 pouces.
Propriétés principales
- Symétrique autour de la moyenne : les côtés gauche et droit sont symétriques.
- Moyenne = médiane = mode — les trois mesures de tendance centrale sont égales.
- Définie par deux paramètres : la moyenne (μ) et l’écart-type (σ).
- Aire totale sous la courbe = 1 (soit 100 % de probabilité).
Pourquoi la retrouve-t-on si souvent ?
Le théorème central limite aide à comprendre pourquoi. Sous certaines conditions, la somme de nombreux effets aléatoires indépendants peut être approximativement normale, même si chaque effet ne l’est pas. Ce résultat ne signifie pas que toutes les données individuelles suivent une loi normale : il faut vérifier que le modèle convient aux observations.
Applications pratiques
| Domaine | Application | Exemple |
|---|---|---|
| Fabrication | Contrôle qualité | Les pièces au-delà de ±3σ sont rares dans le modèle (environ 0.3 %) |
| Finance | Gestion des risques | Modélisation de la volatilité des rendements quotidiens des actions |
| Éducation | Courbes de notation | Distribution des résultats aux tests standardisés |
| Médecine | Intervalles de référence | Valeurs de laboratoire : un intervalle de référence peut être défini à partir d’un modèle adapté |
Explorez la courbe en cloche avec la calculatrice de loi normale et calculez des scores z avec la calculatrice de score z.
À retenir
- 68-95-99.7 — retenez cette règle pour estimer rapidement des probabilités sous un modèle normal.
- Le théorème central limite explique certains cas où des sommes ou des moyennes se rapprochent d’une loi normale.
- La moyenne et l’écart-type sont les deux paramètres de la loi normale.
- Les valeurs au-delà de ±3σ sont rares dans le modèle (environ 0.3 % des cas).
Questions fréquentes
Toutes les données suivent-elles une loi normale ?
Non. De nombreux phénomènes suivent d’autres distributions. Les revenus sont souvent asymétriques vers la droite, les magnitudes des séismes suivent une loi de puissance et les lancers de pièces suivent une loi binomiale. La loi normale est utile, mais elle n’est pas universelle.
Qu’est-ce qu’un score z ?
Un score z indique à combien d’écarts-types une valeur se trouve de la moyenne : z = (x − moyenne) / écart-type. Un score z de 2 signifie que la valeur est à deux écarts-types au-dessus de la moyenne. Sous un modèle normal, environ 97.72 % des valeurs sont inférieures ou égales à ce seuil.
Que faire si mes données ne suivent pas une loi normale ?
Certaines méthodes statistiques supposent une distribution normale. Si cette hypothèse ne convient pas, envisagez une méthode non paramétrique ou une transformation adaptée. Un échantillon plus grand peut rendre la moyenne d’échantillon approximativement normale sous certaines conditions, mais ne rend pas les observations d’origine normales.
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