Berechnen Sie das Trägheitsmoment gängiger Formen – Punktmasse, Stab, Scheibe, Kugel, Ring und Zylinder – um ihre Standardachsen sowie den Parallelachsensatz.
Eingaben
kg
Gesamtmasse des Objekts.
m
Abstand von der Rotationsachse zur Masse oder der charakteristische Radius/die charakteristische Länge des Objekts.
Trägheitsmoment
—
Wählen Sie eine Form und geben Sie oben Masse und Radius/Länge ein.
Eingaben
kg
Gesamtmasse des Objekts.
m
Verwendet einen berechneten Icm für die ausgewählte Form um ihre eigene Schwerpunktsachse.
m
Abstand zwischen der Schwerpunktachse und der neuen, parallelen Rotationsachse.
Trägheitsmoment (Achsenkompensation)
—
Geben Sie oben Masse, Radius/Länge und Achsversatz ein.
Eingaben
kg
Wird unten auf jede erdenkliche Weise angewendet.
m
Wird als Radius für Scheiben-/Kugel-/Reifen-/Punktformen und als Länge für Stäbe verwendet, sodass jede Form mit der gleichen Masse und charakteristischen Abmessung verglichen wird.
Wie sich die Form ändert I
—
Geben Sie oben Masse und Radius/Länge ein, um alle acht Formen zu vergleichen.
4 Min. Lesezeit3 Schritte7 Begriffe3 Beispiele6 häufig gestellte FragenI = m r^2
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Schritt für Schritt
So verwenden Sie diesen Rechner
3 Schritte▸
1
Wählen Sie eine Form und geben Sie Masse und Radius/Länge ein
Wählen Sie auf der Registerkarte „Nach Form“ die Form des Objekts aus – Punktmasse, Stab, Scheibe, Kugel, Ring oder Zylinder – und geben Sie dann seine Masse und seinen charakteristischen Radius oder seine Länge ein.
2
Lesen Sie das Trägheitsmoment ab
Die Ergebniskarte zeigt I in kg·m² zusammen mit der genauen Formel, die verwendet wurde, sodass Sie sehen können, welche Zahlen die Antwort bestimmt haben.
3
Verschieben Sie die Achse oder vergleichen Sie Formen
Wechseln Sie zu „Parallele Achse“, um die Rotationsachse außermittig zu verschieben, oder „Vergleichen“, um zu sehen, wie ich mich bei allen acht Formen bei gleicher Masse und gleichem Radius verändert.
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Grundlagen
Formel und Methodik
7 Formeln▸
Punktmasse
I = m r^2
Eine einzelne Masse m, die in einem festen Abstand r von der Achse umkreist. Die Formel jeder anderen Form basiert auf der Summierung dieses Ausdrucks über seine Massenverteilung.
Dünner Stab
I = (1/12) m L² (um den Mittelpunkt) | I = (1/3) m L² (um das Ende)
Ein gleichförmiger Stab der Länge L und der Masse m dreht sich um ein Ende viermal stärker als um seinen Mittelpunkt, da ein größerer Teil seiner Masse weiter von einer Endachse entfernt liegt.
Feste Scheibe oder Zylinder
I = (1/2) m r^2
Eine gleichmäßige Scheibe oder ein Zylinder mit dem Radius r, der sich um seine zentrale Symmetrieachse dreht. Die Masse verteilt sich von der Mitte nach außen und konzentriert sich nicht am Rand.
Solide Kugel
I = (2/5) m r^2
Eine gleichmäßige feste Kugel mit dem Radius r, die sich durch ihren Mittelpunkt dreht. Der Großteil der Masse einer Kugel liegt näher an der Achse als die einer Scheibe, daher ist ihr Koeffizient kleiner.
Hohlkugel (dünne Schale)
I = (2/3) m r^2
Eine dünne Kugelschale mit dem Radius r, bei der sich im Wesentlichen die gesamte Masse im Abstand r vom Mittelpunkt befindet und daher der Rotation mehr Widerstand entgegensetzt als eine feste Kugel mit derselben Masse.
Reifen oder dünner Ring
I = m r^2
Ein dünner Ring mit dem Radius r, bei dem die gesamte Masse am Rand konzentriert ist – der größte Koeffizient einer beliebigen Form bei gegebener Masse und gegebenem Radius.
Parallelachsensatz
I = I_cm + m d^2
Das Trägheitsmoment um jede Achse parallel zu einer durch den Massenschwerpunkt verlaufenden Achse beträgt I_cm plus m mal dem Quadrat des Versatzabstands d zwischen den beiden Achsen.
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Glossar
Wichtige Begriffe erklärt
7 Begriffe▸
Ein Maß dafür, wie viel Widerstand ein Objekt einer Änderung seiner Rotationsgeschwindigkeit leistet, in kg·m². Sie spielt bei der Rotation die gleiche Rolle wie die Masse bei der geradlinigen Bewegung.
Ein anderer Name für Trägheitsmoment – der Widerstand, den ein rotierender Körper einer Änderung seiner Winkelgeschwindigkeit entgegensetzt, wenn ein Drehmoment ausgeübt wird.
Die imaginäre Linie, um die sich ein Objekt dreht. Dasselbe Objekt hat für jede von Ihnen gewählte Achse ein anderes Trägheitsmoment.
Eine Abkürzungsformel, I = I_cm + m d^2, die I um jede Achse parallel zur Schwerpunktsachse ermittelt, ohne das Integral von Grund auf neu abzuleiten.
Der Abstand k von der Achse, in dem die gesamte Masse eines Objekts konzentriert werden könnte, um dasselbe I zu erzeugen, definiert durch I = m k^2.
Wie sich die Masse eines Objekts relativ zur Rotationsachse verteilt. Zwei Objekte mit gleicher Masse und gleichem Außenradius können sehr unterschiedliche I haben, wenn ihre Masse näher an der Achse oder weiter von ihr entfernt liegt.
Die Änderungsrate der Winkelgeschwindigkeit, bezogen auf Drehmoment und Trägheitsmoment durch τ = I α – das rotatorische Gegenstück zu F = m a.
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Beispiele
Beispiele aus der Praxis
3 Praxisbeispiele▸
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Physikstudent
Feste Scheibe auf einem Drehtisch
Form Solide FestplatteMesse 2 kgRadius 0,5 m
I = (1/2)(2)(0,5)^2 = 0,25 kg·m². Da sich die Masse der Scheibe von der Mitte nach außen verteilt und nicht am Rand konzentriert, widersteht sie dem Spin-up weniger als ein Reifen mit der gleichen Masse und dem gleichen Radius.
🪐
Astronomie-Hobbyist
Modellierung eines Planeten als feste Kugel
Form Solide KugelMesse 5 kg (maßstabsgetreues Modell)Radius 2 m
I = (2/5)(5)(2)^2 = 8 kg·m². Der 2/5-Koeffizient ist die kleinste der üblichen Formen, da die Masse einer Kugel im Durchschnitt näher an ihrem eigenen Mittelpunkt liegt als die Masse einer Scheibe oder einer Schale.
⚙️
Maschinenbauingenieur
Schwungrad von seiner Montageachse versetzt
Form Feste Scheibe, Icm = 0,25 kg·m²Messe 2 kgAchsversatz (d) 1 m
I = Icm + m d^2 = 0,25 + (2)(1)^2 = 2,25 kg·m². Durch die Verschiebung der Rotationsachse um nur 1 m außermittig erhöhte sich das Trägheitsmoment um das Neunfache, was zeigt, wie empfindlich ich auf die Achsenposition und nicht nur auf die Form reagiere.
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Quellenangabe
Diesen Rechner zitieren
APA und MLA▸
Verwenden Sie eines dieser Formate, um diesen Rechner in einer Arbeit, einem Bericht oder einer Literaturliste zu zitieren.
Das Trägheitsmoment (I) sagt Ihnen, wie schwer es ist, die Drehung eines Objekts zu beschleunigen oder zu verlangsamen, genauso wie die normale Masse Ihnen sagt, wie schwer es ist, es in einer geraden Linie zu beschleunigen oder zu verlangsamen. Dieser Rechner berechnet I für die sieben häufigsten Lehrbuchformen und wie sich I ändert, wenn die Rotationsachse vom Massenschwerpunkt verschoben wird.
So funktioniert der Trägheitsmomentrechner
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Die Formel jeder Form ergibt sich aus der Integration von r² über jedes Massenbit im Objekt, wobei r der Abstand dieses Bits von der Achse ist. Eine Punktmasse konzentriert alles in einem Abstand, was im einfachsten Fall I = m r² ergibt. Erweiterte Formen – Stäbe, Scheiben, Kugeln, Ringe – verteilen Masse über einen Bereich von Entfernungen, sodass ihre Formeln einen Bruchkoeffizienten (1/12, 1/3, 1/2, 2/5, 2/3 oder 1) enthalten, der erfasst, wie diese Masse relativ zu r oder L verteilt ist. Dies sind Standardergebnisse der Starrkörpermechanik für Objekte mit gleichmäßiger Dichte um die für jede Form benannte Achse.
Eingaben und was sie bedeuten
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Masse (m) ist die Gesamtmasse des Objekts in Kilogramm. Die Radius- oder Längeneingabe (r oder L) ist die charakteristische Größe des Objekts – der Radius für Scheiben, Kugeln, Ringe, Zylinder und der Abstand einer Punktmasse von der Achse oder die volle Länge für einen Stab. Auf der Registerkarte „Parallele Achse“ ist der Achsenversatz (d) der Abstand zwischen der eigenen Schwerpunktachse des Objekts und der neuen Achse, die Sie eigentlich haben möchten; ein größerer Versatz erhöht I um m d², unabhängig von der Form des Objekts.
Grenzen und Randfälle
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Diese Formeln gehen von einer gleichmäßigen Dichte und idealisierten Formen aus – ein echtes Schwungrad mit Speichen, eine ungleichmäßige Kugel oder eine Stange mit Endgewichten haben ein anderes I als die einfache Lehrbuchformel. Der Rechner geht außerdem durchgehend von SI-Einheiten aus (Kilogramm, Meter, kg·m²); Mischeinheitssysteme werden stillschweigend eine falsche Antwort liefern. Für eine drehmomentgetriebene Spin-Up-Berechnung, sobald Sie I haben, sehen Sie sich den Drehmomentrechner und die Beziehung τ = I α.
an
❓
Fragen
Häufig gestellte Fragen
6 Fragen▸
Was berechnet der Trägheitsmomentrechner eigentlich?+
Es berechnet I, das Rotationsäquivalent der Masse, für eine ausgewählte Form (Punktmasse, Stab, Scheibe, Kugel, Ring oder Zylinder) unter Berücksichtigung der Masse und des charakteristischen Radius oder der Länge dieser Form. I wird in Kilogramm-Quadratmetern (kg·m²) gemessen und gibt an, wie viel Drehmoment erforderlich ist, um die Rotationsgeschwindigkeit des Objekts zu ändern.
Warum ist die Scheibenformel I = 1/2 m r², der Reifen aber I = m r²?+
Beide haben die gleiche Masse und den gleichen Radius, aber ein Reifen konzentriert seine gesamte Masse am Rand (Abstand r von der Achse), während eine Scheibe ihre Masse gleichmäßig von der Mitte nach r verteilt. Da das Trägheitsmoment die Masse im Quadrat ihres Abstands von der Achse wiegt, widersteht die Masse des Reifens am Rand einer Drehung doppelt so stark wie die ausgebreitete Masse der Scheibe.
Was ist der Parallelachsensatz und wann benötige ich ihn?+
Mit dem Parallelachsensatz I = I_cm + m d² können Sie das Trägheitsmoment um jede Achse ermitteln, die parallel zur Schwerpunktsachse eines Objekts verläuft (jedoch um den Abstand d von ihr versetzt). Sie benötigen es immer dann, wenn die tatsächliche Drehachse – ein Scharnier, eine Befestigungsschraube, ein Drehpunkt – nicht durch den Massenschwerpunkt des Objekts verläuft.
Warum liefern eine Vollkugel und eine Hohlkugel bei gleicher Masse und gleichem Radius unterschiedliche Ergebnisse?+
Die Masse einer festen Kugel ist über ihr Volumen verteilt, sodass der größte Teil davon näher am Mittelpunkt liegt als der Außenradius r. Eine Hohlkugel (dünne Schale) hat im Wesentlichen ihre gesamte Masse im Abstand r. Da I mit dem Quadrat des Abstands von der Achse wächst, ist der Koeffizient der Hohlkugel (2/3) größer als der der Vollkugel (2/5), obwohl beide das gleiche m und r haben.
Welche Einheiten erwartet der Rechner?+
Masse in Kilogramm (kg) und Radius oder Länge in Metern (m). Das Ergebnis, I, wird in Kilogramm-Quadratmeter (kg·m²) ausgegeben, der Standard-SI-Einheit für das Trägheitsmoment. Wenn Ihre Maße in anderen Einheiten vorliegen, rechnen Sie diese vor der Eingabe in kg und m um.
Kann ich meine Ergebnisse teilen?+
Ja – der Rechner kodiert Ihre ausgewählte Registerkarte, Form, Masse, Radius/Länge und (auf der Registerkarte „Parallelachse“) Achsenversatz in die Seiten-URL. Das Kopieren der URL oder das Klicken auf die Schaltfläche „Teilen“ reicht aus, um ein bestimmtes Szenario an jemand anderen weiterzugeben.
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