Die Fibonacci-Folge – 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... – ist eines der bekanntesten Muster in der Mathematik. Jede Zahl ist die Summe der beiden davor, und je tiefer man geht, desto mehr offenbart die Reihenfolge: eine geschlossene Formel, eine überraschende Verbindung zum Goldenen Schnitt und Erscheinungen in der gesamten Natur. Dieser Rechner findet jeden Term genau, listet die Reihenfolge auf und visualisiert die Konvergenz des Goldenen Schnitts.
Wie die Sequenz aufgebaut ist
Die Regel könnte nicht einfacher sein: Beginnen Sie mit 0 und 1, dann ist jeder neue Term die Summe der beiden vorherigen. Das ergibt 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 und so weiter. Da jeder Term nur von den letzten beiden abhängt, können Sie F(n) berechnen, indem Sie von unten nach oben gehen – was genau das ist, was dieser Rechner tut, indem er Ganzzahlen mit beliebiger Genauigkeit verwendet, sodass nie etwas gerundet wird. Die Terme wachsen ungefähr geometrisch: Jeder ist etwa 1,618-mal größer als der letzte, was der erste Hinweis auf den Goldenen Schnitt ist, der sich in der Sequenz verbirgt.
Binets Formel: eine Abkürzung für jeden Begriff
Sie müssen keine Schleife durchlaufen, um F(n) zu finden. Binets Formel ergibt es direkt: F(n) = (phi^n - psi^n) / sqrt(5), wobei phi = (1 + sqrt(5))/2 der Goldene Schnitt und psi = (1 - sqrt(5))/2 sein Konjugat ist. Es sieht so aus, als ob es ein irrationales Durcheinander erzeugen sollte, aber es landet immer bei einer ganzen Zahl, weil sich die irrationalen Teile aufheben. Seit |psi| kleiner als 1 ist, wird der psi^n-Term mit zunehmendem n zu nichts, sodass F(n) einfach die ganze Zahl ist, die phi^n / sqrt(5) am nächsten kommt. Dieser Rechner zeigt Binets Schätzung neben dem genauen BigInt-Wert an, sodass Sie sehen können, wie die beiden übereinstimmen.
Die Verbindung zum Goldenen Schnitt
Dividieren Sie eine beliebige Fibonacci-Zahl durch die Zahl davor – 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 – und die Antworten ergeben Phi ≈ 1,6180339887, den Goldenen Schnitt. Die Verhältnisse wechseln sich ab, über- und unterschreiten den Phi-Wert, wobei die Lücke schnell kleiner wird. Phi ist an sich schon etwas Besonderes: Es ist die einzige positive Zahl, bei der Phi = 1 + 1/Phi ist, und es zeigt sich in Fünfecken, der Geometrie von Spiralen sowie in Kunst und Architektur, die auf ausgewogene Proportionen abzielen. Auf der Registerkarte „Goldener Schnitt“ auf dieser Seite wird die Konvergenz direkt gegenüber einer Referenzlinie bei Phi dargestellt.
Lucas-Zahlen, negative Indizes und Natur
Behalten Sie die gleiche Wiederholung bei, ändern Sie jedoch die Startwerte, und Sie erhalten eine ganze Familie von Sequenzen. Die Samen 2 und 1 ergeben die Lucas-Zahlen (2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, ...), die mit den Fibonacci-Zahlen elegante Identitäten bilden. Die Folge läuft sogar rückwärts: Die negafibonacci-Regel F(-n) = (-1)^(n+1) F(n) erweitert sie auf negative Indizes mit wechselnden Vorzeichen. In freier Wildbahn zählen Fibonacci-Zahlen die Spiralen in Sonnenblumenköpfen und Tannenzapfen sowie die Anordnung der Blätter um einen Stiel – nicht weil die Natur die Reihenfolge „kennt“, sondern weil das Packen von Samen oder Blättern im goldenen Winkel (abgeleitet von Phi) eine effiziente Möglichkeit ist, Raum zu füllen.