Die Fakultät von n, geschrieben n!, ist das Produkt jeder ganzen Zahl von 1 bis n und zählt, auf wie viele Arten man n verschiedene Dinge ordnen kann. Es ist eine der nützlichsten Ideen beim Zählen (Kombinatorik) und taucht überall auf, von der Wahrscheinlichkeit bis hin zu Algorithmen. Dieser Rechner berechnet n! genau für große Zahlen und erstreckt sich auf Permutationen, Kombinationen und die Doppelfakultät.
Was eine Fakultät bedeutet
N! beantwortet eine einfache Frage: In wie vielen verschiedenen Reihenfolgen können Sie n verschiedene Artikel anordnen? Bei 3 Büchern sind es 3! = 6 Bestellungen; bei 5 sind es 120; bei 10 sind es über 3,6 Millionen. Der Grund dafür ist das Multiplikationsprinzip: Sie haben n Möglichkeiten für die erste Position, n-1 für die zweite und so weiter bis 1. Multiplizieren Sie sie miteinander und Sie erhalten n!. Da jedes zusätzliche Element die Anzahl mit einer größeren Zahl multipliziert, wachsen Fakultäten schneller als alle Exponentialfunktionen.
Warum 0! = 1
Es sieht seltsam aus, dass die Fakultät von Null eins und nicht null ist. Dafür gibt es zwei gute Gründe. Erstens gibt es genau eine Möglichkeit, eine leere Menge anzuordnen – die leere Anordnung –, sodass die Anzahl 1 sein sollte. Zweitens: Definieren von 0! = 1 behält die Kombinationsformel nCr = n! / (r!(n-r)!) an den Rändern arbeiten: Die Auswahl von 0 Elementen aus n oder allen n Elementen sollte beide genau 1 Weg ergeben, und das kommt nur dann richtig heraus, wenn 0! = 1. Mathematiker nennen dies ein leeres Produkt, und ein leeres Produkt ist immer 1.
Permutationen vs. Kombinationen
Beide wählen r Elemente aus einem Pool von n aus, unterscheiden sich jedoch darin, ob die Reihenfolge wichtig ist. Eine Permutation (nPr = n!/(n-r)!) behandelt ABC und CBA als unterschiedlich – verwenden Sie sie für Endpositionen in einem Rennen oder PIN-Codes. Eine Kombination (nCr = n!/(r!(n-r)!)) behandelt sie als gleich – verwenden Sie sie für Lottozahlen, Pokerhände oder ein Komitee, in dem die Sitze unbeschriftet sind. Weil jede Kombination nachbestellt werden kann! Wie dem auch sei, nPr ist immer r! mal nCr, also sind Permutationen nie weniger als Kombinationen.
Doppelte Fakultäten und sehr große n
Die doppelte Fakultät n!! multipliziert jeden anderen Term: 9!! = 9 x 7 x 5 x 3 x 1 = 945. Es kommt in Formeln für Kugelvolumina und bestimmte Integrale vor. Für sehr große n hat die exakte Fakultät Tausende von Ziffern, daher meldet dieses Tool auch die Stirling-Näherung – ln(n!) ~= n ln n – n + 0,5 ln(2 pi n) –, die die Ziffernzahl und die Größenordnung angibt. Trotzdem werden die genauen Ziffern mit Ganzzahlen mit beliebiger Genauigkeit berechnet, sodass nichts gerundet wird.