Die Collatz-Vermutung lässt sich täuschend einfach formulieren: Nehmen Sie eine beliebige positive ganze Zahl, halbieren Sie sie, wenn sie gerade ist, verdreifachen Sie sie und addieren Sie eins, wenn sie ungerade ist, und wiederholen Sie den Vorgang. Dennoch hat sie sich fast ein Jahrhundert lang dem Beweis entzogen. Dieser Rechner generiert die Sequenz für jede Startnummer und gibt die Anzahl der Schritte bis zum Erreichen von 1, den Spitzenwert auf dem Weg und die vollständige Schritt-für-Schritt-Kette an.

Wie die Sequenz generiert wird

Ausgehend von einer gewählten ganzen Zahl wendet der Rechner immer wieder dieselben zwei Regeln an: Eine gerade Zahl wird durch 2 geteilt und eine ungerade Zahl wird verdreifacht und um 1 erhöht. Der Vorgang wird wiederholt, bis der Wert 1 erreicht. An diesem Punkt stoppt die Sequenz. Jede Regelanwendung ist eine Iteration, und die Gesamtzahl der benötigten Iterationen wird als Stoppzeit bezeichnet. Die Registerkarte „Schritte“ dieses Rechners meldet die Zählung direkt, während die Registerkarte „Sequenz“ jeden Zwischenwert auflistet.

Warum die Reihenfolge unvorhersehbar ist

Obwohl die Regel festgelegt ist, kann sich die resultierende Sequenz wild verhalten – sie steigt weit über die Startzahl hinaus, bevor sie schließlich zusammenbricht. Aus diesem Grund werden die Werte auch als Hagelkornzahlen bezeichnet: Wie Hagel, der in einer Gewitterwolke auf- und abprallt, bevor er schließlich fällt, kann eine Collatz-Sequenz viele Schritte aufsteigen, bevor sie ihren endgültigen Abstieg beginnt. Die Startzahl 27 beispielsweise steigt bis auf 9.232 – mehr als das 340-fache ihres Startwerts – bevor sie nach 111 Schritten auf 1 sinkt. Die Registerkarte „Spitzenwert“ dieses Rechners zeigt genau an, welcher Schritt dieses Maximum erzeugt hat.

Was ist bewiesen und was nicht

Jede jemals getestete Startzahl – rechnerisch auf Billionen verifiziert – erreicht schließlich 1. Aber die Collatz-Vermutung selbst, die erstmals 1937 vom deutschen Mathematiker Lothar Collatz aufgestellt wurde, besagt, dass dies für jede positive ganze Zahl gilt, und niemand hat es bewiesen. Es ist nach wie vor eines der bekanntesten offenen Probleme der Mathematik: leicht genug, um es einem Kind zu erklären, und dennoch seit über 85 Jahren von professionellen Mathematikern ungelöst. Verwandte Tools wie der Modulo-Rechner und der Sequenzen-Rechner sind nützlich, um andere Zahlenmuster im gleichen Sinne zu untersuchen.