Folgen und Reihen sind die Bausteine des quantitativen Denkens. Eine arithmetische Folge fügt jedes Mal einen festen Schritt hinzu; Eine geometrische Folge multipliziert sich mit einem festen Verhältnis. Den Unterschied zu verstehen – und zu wissen, wie man einen Term oder eine Teilsumme sofort berechnet – ist überall nützlich, von der persönlichen Finanzwelt bis hin zur Physik.

Arithmetik vs. Geometrisch: Welches Muster haben Sie?

Der schnellste Weg, eine Sequenz zu klassifizieren, besteht darin, die Unterschiede zwischen aufeinanderfolgenden Begriffen zu überprüfen. Wenn die Differenzen alle gleich sind (z. B. 3, 7, 11, 15 – Differenz von jeweils 4), handelt es sich um Arithmetik. Wenn die Verhältnisse alle gleich sind (z. B. 2, 6, 18, 54 – Verhältnis jeweils 3), ist es geometrisch. Der Benutzerdefiniert-Modus des Rechners erkennt diese Muster automatisch für Sie.

Zu den realen Rechensequenzen gehören jährliche Gehaltserhöhungen, lineare Abschreibungen und gleichmäßig verteilte Termine. Geometrische Sequenzen erscheinen in Zinseszins, Bevölkerungswachstum, radioaktivem Zerfall und Signaldämpfung – überall dort, wo sich eine prozentuale Änderung in jeder Periode wiederholt.

Wann konvergiert eine geometrische Reihe?

Eine geometrische Reihe konvergiert – das heißt, ihre Teilsummen gleichen sich gegen eine einzige endliche Zahl aus – genau dann, wenn der Absolutwert des gemeinsamen Verhältnisses kleiner als 1 ist (|r| < 1). Der Grenzwert ist S∞ = a₁ / (1 − r). Beispielsweise konvergiert die Reihe 1 + ½ + ¼ + ⅛ + … (r = 0,5) gegen genau 2.

Wenn |r| ≥ 1 bleiben die Terme entweder konstant (r = 1), wechseln im Vorzeichen, ohne zu schrumpfen (r = −1), oder wachsen unbegrenzt (|r| > 1). In allen drei Fällen divergiert die Reihe – es gibt keine endliche Summe bis ins Unendliche. Der Rechner kennzeichnet dies mit einem Diverges-Zeichen und blendet das S∞-Feld aus.

Die Fibonacci-Folge und der Goldene Schnitt

Fibonacci-Zahlen (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 …) sind weder arithmetisch noch geometrisch, kommen aber überall in der Natur vor – in Sonnenblumenkernspiralen, Nautilusmuscheln und verzweigten Bäumen. Das Verhältnis aufeinanderfolgender Fibonacci-Terme (z. B. 21/13 ≈ 1,615) konvergiert zum Goldenen Schnitt φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618 als n → ∞.

Zu den praktischen Anwendungen gehören die Algorithmusanalyse (Fibonacci-Heaps, rekursive Fibonacci-Komplexität) und der Finanzhandel (Fibonacci-Retracement-Levels). Dieser Rechner zeigt jeden Fibonacci-Term bis zu F₇₈ an – darüber hinaus kann die Gleitkommagenauigkeit von JavaScript die ganze Zahl nicht exakt darstellen.