Temukan koordinat (cos θ, sin θ) untuk setiap sudut pada lingkaran satuan, ditambah sudut referensi, kuadran, dan bentuk simbolik eksaknya — dalam derajat atau radian.
Sudut
Bilangan real apa pun dapat digunakan — sudut negatif dan sudut lebih dari 360° (atau 2π) melingkari lingkaran secara otomatis.
Coba:
(cos θ, sin θ)
—
Masukkan sudut di atas untuk menghitung.
x = cos θ—
y = dosa θ—
tan θ—
Masukkan sudut untuk melihat koordinatnya pada lingkaran satuan.
Diagram lingkaran satuan
Sudut referensi
—
Masukkan sudut di atas untuk menghitung.
Kuadran—
Sudut (dinormalisasi, °)—
Sudut (dinormalisasi, rad)—
Masukkan sudut untuk menemukan sudut referensi dan kuadrannya.
Sudut Anda vs. sudut referensinya
Sudut Anda——
Sudut referensi (selalu Kuadran I)——
Sudut acuan selalu memberikan besaran koordinat yang sama — hanya tandanya yang berubah menurut kuadran.
Bentuk yang tepat
—
Masukkan sudut di atas untuk menghitung.
Cos θ yang tepat—
Dosa eksak θ—
Radian (bentuk π)—
Masukkan sudut untuk melihat koordinat simbolis pastinya, jika sudut tersebut merupakan sudut standar.
Lingkaran satuan adalah alat tunggal yang menyatukan setiap gagasan berbasis sudut dalam trigonometri: nilai sinus dan kosinus, sudut acuan, tanda kuadran, dan ukuran radian.
📋
Panduan langkah demi langkah
Cara menggunakan kalkulator ini
4 langkah▸
1
Masukkan sudut Anda
Ketikkan sudut mana pun ke dalam masukan — positif atau negatif, dan ukuran apa pun. Pilih apakah Anda memasukkan derajat atau radian dengan pemilih satuan di sebelahnya. Hasilnya diperbarui secara instan saat Anda mengetik.
2
Baca koordinatnya
Tab Koordinat menunjukkan titik (cos θ, sin θ) di mana sisi terminal sudut Anda melintasi lingkaran satuan, bersama dengan tan θ dan diagram kecil lingkaran dengan sudut yang diplot.
3
Periksa sudut referensi dan kuadran
Beralih ke tab Sudut Referensi untuk melihat sudut lancip yang dibuat sisi terminal Anda dengan sumbu x, di kuadran mana Anda berada, dan perbandingan berdampingan dengan sudut Kuadran I yang setara.
4
Carilah bentuk persisnya
Jika sudut Anda merupakan kelipatan 30° atau 45° (16 sudut "bagus"), tab Nilai Tepat menampilkan jawaban simbolis — seperti √3/2, bukan 0,8660 — ditambah tabel referensi lengkap tentang sudut standar.
⚡
Referensi
Rumus dan metodologi
3 rumus▸
Koordinat pada lingkaran satuan
(x, y) = (cos θ, sin θ)
Untuk setiap sudut θ yang diukur berlawanan arah jarum jam dari sumbu x positif, sisi terminalnya memotong lingkaran satuan (radius 1, berpusat di titik asal) di titik (cos θ, sin θ). Ini adalah definisi sinus dan kosinus yang digunakan dalam trigonometri, kalkulus, dan fisika — definisi ini memperluas definisi segitiga siku-siku ke sudut mana pun, termasuk sudut yang lebih besar dari 90° dan sudut negatif.
Sudut referensi
ref(θ) = min(θ mod 180°, 180° − (θ mod 180°))
Sudut acuan adalah sudut lancip (0°–90°) antara sisi terminal dan sumbu x. Itu sama dengan θ di Kuadran I, 180° − θ di Kuadran II, θ − 180° di Kuadran III, dan 360° − θ di Kuadran IV. Kosinus dan sinus sudut mana pun sama dengan ±cos/±sin sudut acuannya — hanya tandanya yang berubah.
Garis singgung
tan θ = sin θ / cos θ
Garis singgung tidak terdefinisi dimanapun cos θ = 0 — pada 90° dan 270° (dan sudut koterminalnya) — karena memerlukan pembagian dengan nol. Di tempat lain, ini adalah rasio koordinat y terhadap koordinat x pada lingkaran satuan.
📖
Glosarium
Penjelasan istilah penting
7 istilah▸
Lingkaran berjari-jari 1 berpusat di titik asal (0, 0) bidang koordinat. Setiap sudut yang ditarik dari sumbu x positif mempunyai sisi terminalnya yang memotong lingkaran tersebut tepat pada satu titik, (cos θ, sin θ).
Sudut lancip positif (antara 0° dan 90°) terbentuk antara sisi terminal sudut dan sumbu x. Ini digunakan untuk menemukan nilai trigonometri yang tepat untuk sudut mana pun dengan menghubungkannya kembali ke sudut kuadran pertama.
Salah satu dari empat wilayah yang dibagi oleh sumbu x dan y pada bidang, diberi nomor I hingga IV berlawanan arah jarum jam mulai dari kanan atas. Kuadran I mempunyai kedua koordinat positif; II mempunyai x negatif, y positif; III memiliki keduanya negatif; IV memiliki x positif, y negatif (aturan ASTC: Semua, Sine, Tangent, Cosine masing-masing positif di Q1 – Q4).
Sinar yang disapu suatu sudut jika diukur berlawanan arah jarum jam dari sumbu x positif (“sisi awal”). Dimana sisi terminal memotong lingkaran satuan memberikan koordinat sudut (cos, sin).
Sudut-sudut yang mempunyai sisi terminal yang sama karena berbeda satu putaran penuh — 30° dan 390° (30° + 360°) adalah koterminal, begitu pula 30° dan -330°. Sudut koterminal selalu mempunyai nilai cos, sin, dan tan yang sama.
Ukuran sudut yang satu putaran penuh sama dengan 2π radian (≈6,2832), bukan 360°. Radian adalah satuan alami untuk kalkulus dan fisika karena keduanya menghubungkan panjang busur langsung dengan jari-jari (panjang busur = jari-jari × sudut dalam radian).
Nilai trigonometri dinyatakan sebagai pecahan simbolik atau radikal (seperti √2/2 atau 1/2) dan bukan desimal bulat (0,7071). Nilai pasti ada untuk sudut yang merupakan kelipatan 30° atau 45°, yang diperoleh dari perbandingan segitiga 30-60-90 dan 45-45-90.
👥
Skenario
Contoh dalam kehidupan nyata
3 contoh nyata▸
📐
Memicu siswa
Mencari sudut standar
Sudut 30Satuan Derajat
30° adalah sudut standar di Kuadran I, jadi sudut acuannya adalah (30°). Koordinat tepatnya adalah (√3/2, 1/2) ≈ (0,8660, 0,5000) — rasio segitiga 30-60-90 yang sama yang dihafal siswa, hanya ditempatkan pada lingkaran satuan, bukan pada segitiga siku-siku.
🧭
Pemeriksaan pekerjaan rumah
Sudut melewati 180°
Sudut 210Satuan Derajat
210° mendarat di Kuadran III, 30° melewati sumbu x negatif. Sudut acuannya adalah 30° (210° − 180°), sehingga besaran koordinatnya sama dengan 30° tetapi kedua tandanya terbalik: (-√3/2, -1/2) ≈ (-0,8660, -0,5000), karena kosinus dan sinusnya negatif di Kuadran III.
∫
Persiapan kalkulus
Bekerja dalam radian
Sudut π/4 (0.7854)Satuan Radian
π/4 radian sama dengan 45°, tepat pada diagonal antara sumbu di Kuadran I. Karena 45° adalah sudut istimewa 45-45-90, maka kosinus dan sinusnya sama: (√2/2, √2/2) ≈ (0,7071, 0,7071). tan θ = 1 di sini, karena sin dan cos cocok.
🔗
Referensi
Sitasi kalkulator ini
APA & MLA▸
Gunakan salah satu format ini untuk menyitasi kalkulator dalam makalah, laporan, atau daftar sumber.
Lingkaran satuan adalah alat tunggal yang menyatukan setiap gagasan berbasis sudut dalam trigonometri: nilai sinus dan kosinus, sudut acuan, tanda kuadran, dan ukuran radian. Daripada menghafal puluhan rasio segitiga, lingkaran satuan memungkinkan Anda membaca koordinat (cos θ, sin θ) untuk sudut mana pun yang lurus pada lingkaran berjari-jari 1.
Cara kerja lingkaran satuan
▸
Gambarlah sebuah lingkaran dengan jari-jari 1 yang berpusat di titik asal bidang koordinat. Mulai dari sumbu x positif, sapukan berlawanan arah jarum jam dengan sudut θ. Dimanapun sapuan itu — sisi terminal sudutnya — melintasi lingkaran adalah titiknya (cos θ, sin θ). Karena lingkaran berjari-jari 1, maka koordinat x titik tersebut didefinisikan sebagai cos θ dan koordinat y sebagai sin θ. Ini adalah perpanjangan langsung dari definisi segitiga siku-siku yang terdiri dari sinus dan kosinus (berlawanan/sisi miring, berdekatan/sisi miring) dengan sudut dengan ukuran berapa pun, termasuk sudut yang melewati 90° dan sudut negatif, sehingga segitiga siku-siku tidak lagi masuk akal.
Tangen mengikuti garis lurus sebagai sin θ / cos θ, kemiringan sinar sisi terminal. Karena lingkaran satuan mempunyai jari-jari 1, tidak diperlukan pembagian dengan sisi miring — koordinat adalah nilai trigonometri.
Sudut referensi dan aturan ASTC
▸
Daripada mengingat nilai pasti yang terpisah untuk setiap sudut di sekeliling lingkaran penuh, trigonometri menggunakan sudut referensi: setiap sudut dipetakan kembali ke sudut lancip (0°–90°) di Kuadran I, dan tandanya ditentukan di kuadran mana sudut aslinya berada. Mnemonik klasiknya adalah All-Sine-Tangent-Cosine ("Semua Siswa Mengambil Kalkulus"): pada Kuadran I, ketiga fungsi tersebut positif; di Kuadran II, hanya sinus yang positif; di Kuadran III, hanya garis singgung yang positif; di Kuadran IV, hanya kosinus yang positif.
Jadi 210° (Kuadran III) mempunyai sudut acuan yang sama dengan 30°, dan kosinus serta sinusnya sama-sama negatif karena tangen saja yang bernilai positif di Kuadran III — cos(210°) = -cos(30°) dan sin(210°) = -sin(30°).
16 sudut standar dan nilai pastinya
▸
Setiap kelipatan 30° dan 45° pada keliling lingkaran — total 16 sudut, termasuk empat sudut sumbu 0°/90°/180°/270° — mempunyai nilai simbolis eksak (cos, sin) yang diperoleh dari dua segitiga siku-siku khusus: segitiga 30-60-90 (menghasilkan 1/2 dan √3/2) dan segitiga 45-45-90 (menghasilkan √2/2 keduanya). Sudut apa pun di luar himpunan 16 ini tidak memiliki bentuk simbolik yang jelas dan dibiarkan sebagai perkiraan desimal — tab Nilai Tepat pada kalkulator ini membuat perbedaan tersebut menjadi eksplisit dan tidak menampilkan pecahan bulat yang menyesatkan.
Batasan dan hal-hal yang harus diperhatikan
▸
Tangen tidak terdefinisi pada 90° dan 270° (dan sudut mana pun yang sejajar dengannya) karena kosinusnya adalah 0, sehingga perlu dibagi dengan nol — kalkulator ini melaporkan "tidak terdefinisi" dan bukan kesalahan atau desimal tak terhingga. Pembulatan titik mengambang juga berarti masukan radian yang dikonversi dari nilai derajat eksak (seperti π/2) dapat menghitung cos sebagai bilangan bukan nol yang sangat kecil, bukan 0 yang sempurna secara matematis; pencarian nilai persis kalkulator menghindari hal ini dengan mencocokkan dengan nilai simbolis sebenarnya, bukan keluaran floating-point mentah.
❓
Pertanyaan
Pertanyaan umum
6 pertanyaan▸
Apa yang sebenarnya dihitung oleh Kalkulator Lingkaran Satuan?+
Dibutuhkan sudut mana pun (dalam derajat atau radian) dan mengembalikan titik (cos θ, sin θ) di mana sisi terminal sudut tersebut melintasi lingkaran berjari-jari 1 yang berpusat di titik asal, bersama dengan tan θ, sudut referensi sudut, di kuadran mana sudut tersebut berada, dan — untuk 16 sudut standar yang merupakan kelipatan 30° atau 45° — koordinat simbolik yang tepat, bukan hanya desimal.
Apa yang dimaksud dengan sudut referensi, secara sederhana?+
Ini adalah sudut lancip (selalu antara 0° dan 90°) antara sisi terminal sudut Anda dan bagian terdekat dari sumbu x. Setiap sudut di sekitar lingkaran penuh dipetakan kembali ke sudut referensi di Kuadran I, yang merupakan cara Anda menemukan nilai trigonometri yang tepat untuk sudut mana pun hanya dengan menggunakan beberapa sudut kuadran pertama khusus.
Bagaimana cara kerja tanda kuadran — fungsi manakah yang positif di bagian mana?+
Kuadran I: cosinus, sinus, dan tangen semuanya positif. Kuadran II: hanya sinus yang positif. Kuadran III: hanya garis singgung yang positif. Kuadran IV: hanya kosinus yang positif. Ini adalah aturan "Semua Siswa Mengambil Kalkulus" (ASTC), dan itulah sebabnya sudut acuan yang sama dapat menghasilkan empat kombinasi tanda yang berbeda bergantung pada kuadran mana sudut aslinya berada.
Sudut manakah yang mempunyai nilai eksak, dan mengapa tidak semuanya?+
Ke-16 sudut yang merupakan kelipatan 30° atau 45° (0°, 30°, 45°, 60°, 90°, dan pantulannya pada lingkaran) mempunyai nilai simbolik eksak karena berasal dari segitiga siku-siku istimewa 30-60-90 dan 45-45-90. Sudut di luar himpunan tersebut, seperti 37° atau 100°, tidak dapat direduksi menjadi pecahan bersih dari akar kuadrat, jadi hanya perkiraan desimal yang bermakna — kalkulator menampilkan "Tidak ada bentuk pasti" untuk sudut tersebut, bukan pecahan bulat yang menyesatkan.
Apakah kalkulator ini mendukung radian dan juga derajat?+
Ya — gunakan pemilih satuan di sebelah masukan sudut untuk beralih antara Derajat dan Radian. Secara internal, setiap sudut dikonversi dan dinormalisasi sehingga masukan derajat dan radian untuk sudut dasar yang sama (seperti 45° dan π/4) selalu menghasilkan koordinat, sudut referensi, dan bentuk eksak yang identik.
Mengapa tan θ terkadang "tidak terdefinisi"?+
Garis singgungnya adalah sin θ / cos θ, dan kosinus sama persis dengan 0 pada 90° dan 270° (dan setiap sudut yang berdekatan dengannya, seperti 450° atau -90°) — membaginya dengan nol tidak akan menghasilkan hasil yang pasti. Kalkulator melaporkan "tidak terdefinisi" pada sudut yang tepat, bukan angka yang besar atau tampak tak terbatas.
📄
Simpan & bagikan
Dapatkan PDF hasil dengan merek Calculover
Unduh PDF satu halaman berisi hasil Anda. Masukkan alamat email untuk menerima kiat kalkulator sesekali. Tanpa spam, dan Anda dapat berhenti berlangganan kapan saja. Privasi.