Enam fungsi trigonometri menggambarkan hubungan antara sudut dan sisi-sisi segitiga siku-siku — atau, lebih umum, antara sudut dan titik pada lingkaran satuan. Kalkulator ini menangani kedua arah: mengubah sudut menjadi keenam nilai fungsi, dan mengubah rasio yang diketahui kembali menjadi sudut dengan fungsi invers.

Mulai dari segitiga siku-siku hingga lingkaran satuan

Trigonometri dimulai dengan SOH-CAH-TOA: sinus berhadapan dengan sisi miring, kosinus berdekatan dengan sisi miring, tangen berhadapan dengan sisi miring. Definisi tersebut hanya berlaku untuk sudut antara 0° dan 90°, karena segitiga siku-siku tidak boleh memiliki sudut 180° atau −45°. Definisi lingkaran satuan memperluas fungsinya ke setiap sudut real: sinus adalah koordinat y dan kosinus adalah koordinat x dari titik pertemuan sinar sudut dengan lingkaran berjari-jari 1, dan tangen adalah rasionya. Inilah sebabnya sinus dan kosinus selalu berada di antara −1 dan 1 (koordinat lingkaran tidak pernah melebihi rentang tersebut), sedangkan tangen dapat berupa bilangan real apa pun.

Mengapa beberapa fungsi tidak terdefinisi pada sudut tertentu

Singgung, garis potong, dan kotangen semuanya didefinisikan sebagai rasio, dan suatu rasio tidak terdefinisi jika penyebutnya nol. Garis singgung (sin/cos) dan garis potong (1/cos) terpecah ketika cosinus sama dengan nol — pada 90°, 270°, dan setiap 180° setelahnya. Kotangen (cos/sin) dan kosekan (1/sin) terurai jika sinus sama dengan nol — pada 0°, 180°, 360°, dan seterusnya. Secara grafis, ini adalah asimtot vertikal yang Anda lihat pada kurva singgung atau garis potong: fungsi mengarah ke tak terhingga positif atau negatif saat sudut mendekati titik yang tidak terdefinisi, namun tidak pernah benar-benar mencapai nilai di sana.

Mengapa invers trigonometri memiliki domain terbatas

Karena sinus dan cosinus hanya mengeluarkan nilai antara −1 dan 1, fungsi inversnya (sin⁻¹ dan cos⁻¹) hanya dapat menerima masukan dalam rentang yang sama — tidak ada sudut yang sinusnya 2, jadi sin⁻¹(2) tidak ada. Arctangent tidak memiliki batasan ini karena rentang keluaran tangen semuanya bilangan real, jadi tan⁻¹ menerima nilai apa pun. Kehalusan kedua: sinus dan kosinus bersifat periodik, sehingga banyak sudut yang memiliki nilai sinus yang sama (30°, 150°, 390°,…). Fungsi invers mengembalikan salah satunya — "nilai utama" — yang untuk sin⁻¹ selalu antara −90° dan 90°, untuk cos⁻¹ antara 0° dan 180°, dan untuk tan⁻¹ antara −90° dan 90°.

Derajat vs. radian

Derajat membagi lingkaran menjadi 360 bagian yang sama, sebuah konvensi yang berasal dari astronomi Babilonia kuno. Radian mengukur sudut dengan panjang busur: satu radian adalah sudut yang panjang busurnya sama dengan jari-jarinya, sehingga menghasilkan 2π radian untuk setiap lingkaran penuh. Radian adalah satuan alami dalam kalkulus dan fisika karena keduanya menyederhanakan rumus turunan dan deret untuk sinus dan kosinus, sementara derajat tetap menjadi satuan sehari-hari untuk navigasi, konstruksi, dan sebagian besar geometri buku teks. Kalkulator ini menerima dan menampilkan keduanya, sehingga Anda dapat mengerjakan unit apa pun yang digunakan materi sumber Anda.