What is the formula for a matrix transpose?

The transpose swaps rows and columns using Aᵀ[j][i] = A[i][j]: the entry at row i, column j of the original matrix moves to row j, column i of the result. In practice, the first row of A becomes the first column of Aᵀ, the second row becomes the second column, and so on. An m×n matrix (m rows, n columns) always becomes an n×m matrix after transposing.

What makes a matrix symmetric?

A matrix is symmetric when it equals its own transpose, A = Aᵀ. That requires the matrix to be square (same number of rows and columns) and for every entry to mirror across the main diagonal — for example, the entry in row 1, column 2 must equal the entry in row 2, column 1. Symmetric matrices show up frequently in covariance matrices, distance matrices, and adjacency matrices for undirected graphs.

How do the dimensions change when you transpose a matrix?

Transposing swaps the row and column counts: an m×n matrix becomes an n×m matrix. For example, a 2×4 matrix (2 rows, 4 columns) transposes into a 4×2 matrix (4 rows, 2 columns). The total number of entries never changes — only the arrangement of rows versus columns does. Square matrices (where rows = columns) keep the same dimensions after transposing, even though the entries themselves still move.

What is (Aᵀ)ᵀ — the transpose of a transpose?

Transposing a matrix twice always returns the original matrix: (Aᵀ)ᵀ = A. The first transpose swaps rows and columns; the second transpose swaps them back to their original positions. This property is a quick way to double-check a manual transpose calculation — if transposing your result doesn't recreate the original matrix, an entry was likely misplaced.

How do you transpose a row or column vector?

A row vector (a matrix with a single row, shape 1×n) transposes into a column vector (shape n×1) with the same entries stacked vertically instead of horizontally, and the reverse is true for a column vector. This row-to-column conversion is a common step when a formula requires vectors in a specific orientation, such as computing a dot product or setting up a system of linear equations.

What is the matrix transpose used for?

The transpose appears throughout linear algebra: it's required to compute a dot product between two vectors written as matrices, to test whether a matrix is symmetric or orthogonal, to derive the normal equations in least-squares regression, and to convert between row-vector and column-vector conventions when combining formulas from different sources. It's one of the most common matrix operations alongside addition, multiplication, and inversion.

Kalkulator Transpos Matriks — Aᵀ

📋

Panduan langkah demi langkah

Cara menggunakan kalkulator ini

3 langkah

1

Tetapkan dimensi matriks

Pilih jumlah baris dan kolom matriks A menggunakan dropdown Baris dan Kolom. Bentuk apa pun dari 1×1 hingga 5×5 didukung, termasuk matriks non-persegi (persegi panjang) dan vektor satu baris atau satu kolom.

2

Masukkan entri matriks

Isi setiap sel matriks A dengan angka. Transpos Aᵀ langsung dihitung ulang di panel hasil saat Anda mengetik — tidak perlu menekan tombol hitung.

3

Baca cek transpose dan simetris

Kartu hasil menunjukkan Aᵀ dengan baris dan kolom yang ditukar dari A. Beralih ke tab Pemeriksaan Simetris untuk melihat apakah A sama dengan transposnya (hanya mungkin untuk matriks persegi), atau tab Dimensi untuk mengonfirmasi perubahan bentuk.

⚡

Referensi

Rumus dan metodologi

2 rumus

Mengubah urutan

Aᵀ[j][i] = A[i][j]

Transpos Aᵀ dibentuk dengan menukar baris dan kolom: entri pada baris i, kolom j dari A menjadi entri pada baris j, kolom i dari Aᵀ. Matriks m×n (m baris, n kolom) menjadi matriks n×m setelah transposisi.

Tes matriks simetris

A = Aᵀ

Matriks persegi A simetris jika setiap entri bercermin pada diagonal utama, yaitu A[i][j] = A[j][i] untuk semua i, j. Simetri hanya didefinisikan untuk matriks persegi — matriks persegi panjang tidak akan pernah bisa menyamai transposnya sendiri karena keduanya mempunyai dimensi yang berbeda.

📖

Glosarium

Penjelasan istilah penting

6 istilah

Matriks dibentuk dengan membalik A pada diagonal utamanya sehingga baris-barisnya menjadi kolom dan kolom-kolomnya menjadi baris. Ditulis sebagai Aᵀ atau A′. Matriks m×n bertransposisi menjadi matriks n×m.

Matriks persegi yang sama dengan transposnya sendiri (A = Aᵀ). Setiap entri di luar diagonal memiliki nilai cermin yang cocok di sisi berlawanan dari diagonal utama, misalnya. SEBUAH[1][2] = SEBUAH[2][1].

Garis horizontal entri dalam matriks, dibaca dari kiri ke kanan. Sebuah matriks dengan m baris memiliki m grup entri horizontal; jumlah baris menjadi jumlah kolom transpos.

Garis vertikal entri dalam matriks, dibaca dari atas ke bawah. Sebuah matriks dengan n kolom memiliki n grup entri vertikal; jumlah kolom menjadi jumlah baris transpos.

Ukuran suatu matriks dinyatakan dalam baris × kolom (m×n). Transposisi menukar dua bilangan, sehingga matriks 2×3 menjadi matriks 3×2 sedangkan jumlah entrinya (6) tetap sama.

Matriks yang hanya memiliki satu baris (1×n, vektor baris) atau hanya satu kolom (m×1, vektor kolom). Transposisi vektor baris menghasilkan vektor kolom dengan entri yang sama, dan sebaliknya.

👥

Skenario

Contoh dalam kehidupan nyata

3 contoh nyata

🧮

Matriks persegi panjang

2×3 matrix

Matriks A [[1,2,3],[4,5,6]] Dimensi 2 rows × 3 columns

A adalah 2×3, jadi Aᵀ menjadi 3×2: [[1,4],[2,5],[3,6]]. Baris 1 A (1, 2, 3) menjadi kolom 1 Aᵀ. Jumlah entri tetap sama (6), hanya bentuknya yang berubah — dan karena baris ≠ kolom, pemeriksaan simetris tidak ditentukan untuk matriks ini.

🔁

Matriks simetris

Contoh matriks simetris 3×3

Matriks A [[2,-1,0],[-1,3,4],[0,4,5]] Dimensi 3 rows × 3 columns

Setiap pasangan di luar diagonal mencerminkan: A[1][2]=-1 cocok dengan A[2][1]=-1, dan A[2][3]=4 cocok dengan A[3][2]=4. Karena A sama dengan transposnya sendiri, tab Pemeriksaan Simetris melaporkan A = Aᵀ — bentuk umum untuk matriks kovarians dan matriks ketetanggaan grafik tak berarah.

↕️

Transpos vektor

1×3 row vector

Matriks A [[7,8,9]] Dimensi 1 row × 3 columns

Vektor baris tunggal [7, 8, 9] ditransposisi menjadi vektor kolom 3×1 dengan tiga entri yang sama ditumpuk secara vertikal. Pembalikan baris-ke-kolom ini persis seperti yang terjadi ketika mengubah titik data menjadi bentuk vektor kolom yang diperlukan oleh banyak rumus aljabar linier.

🔗

Referensi

Sitasi kalkulator ini

APA & MLA

Gunakan salah satu format ini untuk menyitasi kalkulator dalam makalah, laporan, atau daftar sumber.

APA

MLA

📄

Ulasan mendalam

Memahami Kalkulator Transpose Matriks

3 bab · 4 menit membaca

Transpos matriks membalikkan diagonal utamanya, mengubah baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris — salah satu operasi yang paling sering digunakan dalam aljabar linier. Kalkulator ini menghitung Aᵀ untuk matriks apa pun hingga 5×5, memeriksa apakah matriks persegi simetris, dan menunjukkan dengan tepat bagaimana dimensi berubah.

Cara kerja Kalkulator Transpose Matriks

Transposisi matriks mengikuti aturan tunggal: Aᵀ[j][i] = A[i][j]. Setiap entri pada baris i, kolom j dari matriks asli A berpindah ke baris j, kolom i dari hasilnya. Praktisnya, ini berarti Anda dapat membaca setiap kolom A untuk mendapatkan baris Aᵀ. Kalkulator menerapkan pertukaran ini ke setiap sel yang Anda masukkan, memperbarui langsung saat Anda mengetik, dan berfungsi untuk bentuk persegi panjang apa pun mulai dari 1×1 hingga 5×5.

Masukan dan artinya

Atur tarik-turun Baris dan Kolom terlebih dahulu — keduanya menentukan bentuk matriks A, dari matriks sel tunggal 1×1 hingga kisi 5×5 penuh. Baris dan kolom tidak harus sama: bentuk persegi panjang seperti 2×3 atau 4×1 didukung penuh di samping matriks persegi. Setelah kisi muncul, masukkan bilangan real apa pun (positif, negatif, atau desimal) ke dalam setiap sel. Strip Preset menawarkan contoh persegi panjang cepat, contoh simetris 3×3, dan vektor satu baris untuk dijelajahi tanpa mengetik dari awal.

Batasan dan kasus tepi

Tab Pemeriksaan Simetris hanya berlaku untuk matriks persegi (baris = kolom) — untuk matriks persegi panjang, A dan Aᵀ mempunyai dimensi yang berbeda dan tidak akan pernah sama, sehingga kalkulator melaporkan simetri sebagai tidak berlaku dan bukan salah. Menerapkan transpos dua kali selalu mengembalikan matriks asli, (Aᵀ)ᵀ = A, yang merupakan cara berguna untuk memeriksa kewarasan entri Anda. Alat ini dibatasi pada 5×5 agar mudah dibaca; matriks yang lebih besar biasanya ditangani dengan perangkat lunak aljabar linier khusus daripada kisi manual.

❓

Pertanyaan

Pertanyaan umum

6 pertanyaan

Apa rumus transpos matriks?+

Transpos menukar baris dan kolom menggunakan Aᵀ[j][i] = A[i][j]: entri pada baris i, kolom j dari matriks asli berpindah ke baris j, kolom i dari hasilnya. Dalam praktiknya, baris pertama A menjadi kolom pertama Aᵀ, baris kedua menjadi kolom kedua, dan seterusnya. Matriks m×n (m baris, n kolom) selalu menjadi matriks n×m setelah transposisi.

Apa yang membuat matriks menjadi simetris?+

Suatu matriks dikatakan simetris jika matriks tersebut sama dengan transposnya sendiri, A = Aᵀ. Hal ini mengharuskan matriks berbentuk persegi (jumlah baris dan kolom yang sama) dan agar setiap entri mencerminkan diagonal utama — misalnya, entri pada baris 1, kolom 2 harus sama dengan entri pada baris 2, kolom 1. Matriks simetris sering muncul dalam matriks kovarians, matriks jarak, dan matriks ketetanggaan untuk grafik tak berarah.

Bagaimana dimensi berubah ketika Anda mengubah urutan matriks?+

Transposisi menukar jumlah baris dan kolom: matriks m×n menjadi matriks n×m. Misalnya, matriks 2×4 (2 baris, 4 kolom) ditransposisi menjadi matriks 4×2 (4 baris, 2 kolom). Jumlah total entri tidak pernah berubah — hanya susunan baris versus kolom yang berubah. Matriks persegi (di mana baris = kolom) mempertahankan dimensi yang sama setelah transposisi, meskipun entrinya sendiri masih berpindah.

Apa itu (Aᵀ)ᵀ — transpos dari transpos?+

Transposisi matriks dua kali selalu mengembalikan matriks asli: (Aᵀ)ᵀ = A. Transposisi pertama menukar baris dan kolom; transpos kedua akan menukarnya kembali ke posisi semula. Properti ini adalah cara cepat untuk memeriksa ulang penghitungan transposisi manual — jika transposisi hasil Anda tidak membuat ulang matriks asli, kemungkinan ada entri yang salah tempat.

Bagaimana cara mengubah urutan vektor baris atau kolom?+

Vektor baris (matriks dengan satu baris, bentuk 1×n) ditransposisi menjadi vektor kolom (bentuk n×1) dengan entri yang sama ditumpuk secara vertikal, bukan horizontal, dan hal sebaliknya berlaku untuk vektor kolom. Konversi baris ke kolom ini adalah langkah umum ketika rumus memerlukan vektor dalam orientasi tertentu, seperti menghitung perkalian titik atau menyiapkan sistem persamaan linier.

Untuk apa transpos matriks digunakan?+

Transpos muncul di seluruh aljabar linier: diperlukan untuk menghitung perkalian titik antara dua vektor yang ditulis sebagai matriks, untuk menguji apakah suatu matriks simetris atau ortogonal, untuk memperoleh persamaan normal dalam regresi kuadrat terkecil, dan untuk mengkonversi antara konvensi vektor baris dan vektor kolom saat menggabungkan rumus dari sumber berbeda. Ini adalah salah satu operasi matriks yang paling umum selain penjumlahan, perkalian, dan inversi.

Unduh PDF satu halaman berisi hasil Anda. Masukkan alamat email untuk menerima kiat kalkulator sesekali. Tanpa spam, dan Anda dapat berhenti berlangganan kapan saja. Privasi.

Kalkulator Transpos Matriks

Mengubah urutan (Aᵀ)

Cara menggunakan kalkulator ini

Tetapkan dimensi matriks

Masukkan entri matriks

Baca cek transpose dan simetris

Rumus dan metodologi

Penjelasan istilah penting

Contoh dalam kehidupan nyata

Matriks persegi panjang

Matriks simetris

Transpos vektor

Sitasi kalkulator ini

Memahami Kalkulator Transpose Matriks

Cara kerja Kalkulator Transpose Matriks

Masukan dan artinya

Batasan dan kasus tepi

Pertanyaan umum

Dapatkan PDF hasil dengan merek Calculover

Mengubah urutan (Aᵀ)

Cara menggunakan kalkulator ini

Tetapkan dimensi matriks

Masukkan entri matriks

Baca cek transpose dan simetris

Rumus dan metodologi

Penjelasan istilah penting

Contoh dalam kehidupan nyata

Sitasi kalkulator ini

Memahami Kalkulator Transpose Matriks

Cara kerja Kalkulator Transpose Matriks

Masukan dan artinya

Batasan dan kasus tepi

Pertanyaan umum

Dapatkan PDF hasil dengan merek Calculover

Jelajahi lebih lanjut

kalkulator terkait

Panduan & artikel