Jejak adalah salah satu bilangan paling sederhana yang dapat Anda hitung dari matriks persegi, namun ia dikemas dalam jumlah struktur yang mengejutkan — mulai dari pemeriksaan kewarasan yang cepat dalam penghitungan tangan hingga pintasan untuk jumlah nilai eigen suatu matriks. Panduan ini mencakup cara menghitungnya, apa artinya, dan di mana kemunculannya dalam aljabar linier.
Bagaimana jejak dihitung
Jejak suatu matriks A berukuran n×n, ditulis tr(A), didefinisikan sebagai jumlah entri-entri pada diagonal utamanya: tr(A) = A₁₁ + A₂₂ + ... + Aₙₙ. Setiap entri lain dalam matriks — segala sesuatu di luar diagonal — diabaikan sepenuhnya. Hal ini menjadikan penelusuran sebagai salah satu besaran matriks yang paling murah untuk dihitung: tanpa perkalian, tanpa rekursi, hanya penjumlahan n angka.
Karena penelusuran hanya bergantung pada matriks persegi, matriks non-persegi (katakanlah, matriks 3×4) tidak memiliki jejak yang terdefinisi. Kalkulator ini selalu membuat kotak persegi n×n karena alasan tersebut.
Mengapa jejak sama dengan jumlah nilai eigen
Salah satu properti jejak yang paling berguna adalah bahwa tr(A) selalu sama dengan jumlah nilai eigen A, dihitung dengan multiplisitas aljabar — bahkan ketika nilai eigen tersebut tidak rasional, kompleks, atau berulang. Hal ini mengikuti polinomial karakteristik A: koefisien pada suku derajat tertinggi kedua adalah (hingga tanda) jejak, dan berdasarkan rumus Vieta, koefisien tersebut juga sama dengan jumlah akar-akar polinomial, yang merupakan nilai eigen.
Ini memberi Anda pemeriksaan parsial yang cepat pada perhitungan nilai eigen — jika Anda menghitung nilai eigen dengan tangan atau dengan perangkat lunak dan nilai tersebut tidak dijumlahkan dengan jejak yang Anda hitung langsung dari diagonal, maka terjadi masalah salah.
Properti yang berguna dan kasus tepi
Jejaknya bersifat aditif: tr(A + B) = tr(A) + tr(B) untuk dua matriks persegi berukuran sama. Perkalian ini juga bersifat siklik: tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB), meskipun perkalian matriks itu sendiri tidak bersifat komutatif (AB ≠ BA secara umum). Sifat siklik inilah yang menjadi alasan mengapa jejak selalu muncul dalam fisika dan statistik — sifat ini memungkinkan Anda mengatur ulang rantai perkalian matriks tanpa mengubah hasilnya.
Kasus khusus yang perlu diingat: jejak matriks identitas n×n hanyalah n, karena setiap entri diagonal adalah 1. Dan karena jejak mengabaikan setiap entri di luar diagonal, dua matriks yang terlihat sangat berbeda dapat berbagi jejak yang sama persis — ini adalah invarian, bukan sidik jari.