What's the formula behind LU decomposition?

A = LU, produced by running Gaussian elimination and recording each elimination multiplier into L instead of discarding it, while U keeps whatever remains after elimination. When partial pivoting is needed, the exact relationship is P·A = LU, where P records any row swaps.

What does "Doolittle" mean?

Doolittle's method is the specific LU convention this calculator uses: L's diagonal entries are all forced to be 1, so each elimination multiplier has one unambiguous place to live. (Crout's method is the mirror-image convention, forcing U's diagonal to be 1s instead.)

When does LU decomposition fail?

It fails outright only when a column has no usable pivot — every entry from the current row down is zero — and no row swap can fix that. Partial pivoting (swapping in the largest available entry, giving P·A = LU) rescues most cases where the raw diagonal entry alone would have been zero.

How do you get the determinant from an LU decomposition?

Multiply U's diagonal entries together, then flip the sign once for every row swap performed during partial pivoting. With no swaps, det(A) is simply the product of U's diagonal.

What is LU decomposition actually used for?

Mainly for solving Ax = b efficiently, especially when the same A needs to be solved against many different b vectors — each new solve only costs a forward- and back-substitution instead of a full elimination. It's also the standard method numerical libraries use internally to compute determinants and matrix inverses.

How can I check that my L and U are correct?

Multiply L by U and compare the result to the original matrix A (or to P·A if any row swaps occurred) — they should match. This calculator does exactly that check automatically on the Determinant & Verify tab.

Kalkulator Dekomposisi LU — A = LU

Penentu dan pemeriksaan rekonstruksi L kali U
Periksa	Hasil
det(A) = hasil kali diagonal U	—
L × U reconstructs A	—

📋

Panduan langkah demi langkah

Cara menggunakan kalkulator ini

5 langkah

1

Pilih ukuran matriks

Pilih 2×2, 3×3, atau 4×4 dari pemilih ukuran pada tab Matriks L & U. Grid entri dibangun kembali secara instan, dan nilai apa pun yang masih sesuai dengan ukuran baru akan disimpan.

2

Masukkan entri matriks A

Ketikkan nomor ke dalam setiap sel, baris demi baris. Angka negatif dan desimal baik-baik saja — dekomposisi dihitung ulang pada setiap penekanan tombol, tidak diperlukan tombol Hitung.

3

Baca L dan U

Kartu hasil menunjukkan faktor segitiga bawah L dan faktor segitiga atas U segera setelah setiap sel terisi. Jika diperlukan pertukaran baris, matriks permutasi P juga muncul.

4

Buka tab Langkah

Beralih ke Langkah untuk melihat proses eliminasi Gaussian secara lengkap — setiap pencarian pivot, pertukaran baris apa pun, dan setiap eliminasi yang menghilangkan entri di bawah pivot, masing-masing dengan status matriks pada titik tersebut.

5

Periksa determinan dan verifikasi

Buka Penentu & Verifikasi untuk melihat det(A) dihitung sebagai hasil kali (yang dikoreksi tanda) dari diagonal U, ditambah pemeriksaan berdampingan bahwa L × U merekonstruksi matriks asli (yang mungkin disusun ulang barisnya). Gunakan chip yang telah ditetapkan untuk melihat kasus tanpa pivot, kasus berputar, dan kasus tunggal yang dikerjakan secara instan.

⚡

Referensi

Rumus dan metodologi

3 rumus

Faktorisasi LU Doolittle

A = L · U (or, with pivoting, P · A = L · U)

Metode Doolittle memfaktorkan matriks persegi A menjadi matriks segitiga bawah L dengan 1s pada diagonalnya dan matriks segitiga atas U, dengan menjalankan eliminasi Gaussian biasa dan mencatat pengali eliminasi ke dalam L alih-alih membuangnya. Ketika sebuah pivot (entri diagonal yang saat ini dihilangkan di bawah) terlalu kecil atau nol, kalkulator akan menukar entri terbesar yang tersedia dari baris di bawahnya — matriks permutasi P kemudian melacak baris asli mana yang berakhir di mana, sehingga identitas persisnya adalah P · A = L · U.

Pengganda eliminasi (entri L)

L[i][j] = A[i][j] ⁄ A[j][j] (evaluated at the moment column j is eliminated)

Setiap entri sub-diagonal L adalah pengali yang digunakan untuk meniadakan A[i][j] selama eliminasi — jumlah baris pivot j yang dikurangi dari baris i. U hanyalah matriks yang tertinggal setelah setiap langkah eliminasi: entri diagonal dan di atas diagonalnya adalah matriks yang bertahan setelah semua kolom di sebelah kirinya dihilangkan.

Penentu dari U

det(A) = (−1)^(number of row swaps) · U₁₁ · U₂₂ · ⋯ · Uₙₙ

Karena L adalah satuan segitiga bawah (det(L) = 1) dan permutasi P yang dibangun dari perputaran parsial telah menaikkan det(P) = (−1) ke jumlah pertukaran baris yang dilakukan, det(A) menghasilkan hasil kali entri diagonal U, yang dibalik tanda satu kali untuk setiap pertukaran. Tanpa berputar, koreksi tanda itu hanya +1.

📖

Glosarium

Penjelasan istilah penting

7 istilah

Memfaktorkan matriks persegi A menjadi matriks segitiga bawah L dan matriks segitiga atas U sehingga A = LU (atau P·A = LU bila diperlukan pertukaran baris). Ini mengemas pekerjaan eliminasi Gaussian sehingga dapat digunakan kembali secara efisien.

Matriks yang setiap entri di atas diagonal utamanya adalah nol. Dalam metode Doolittle, L juga merupakan satuan segitiga bawah — entri diagonalnya semuanya 1.

Matriks yang setiap entri di bawah diagonal utamanya adalah nol. U adalah yang tersisa dari A setelah eliminasi Gaussian menghilangkan semua yang ada di bawah setiap pivot.

Konvensi LU khusus yang digunakan di sini: Diagonal L dipaksa menjadi 1, sehingga setiap pengali eliminasi mempunyai satu rumah yang tidak ambigu di L dan U membawa faktor skala apa pun yang tersisa. (Alternatifnya, metode Crout, memaksa diagonal U menjadi 1s.)

Proses reduksi baris dengan menggunakan satu baris (baris pivot) untuk menghilangkan entri-entri di bawahnya pada kolom yang sama, diulangi kolom demi kolom hingga matriks berbentuk segitiga atas. Dekomposisi LU adalah eliminasi Gaussian dengan pengali dipertahankan, bukan dibuang.

Sebelum menghilangkan kolom, menukar baris mana pun yang tersisa yang memiliki entri magnitudo terbesar di kolom tersebut, sehingga menjadi pivot. Hal ini menghindari pembagian dengan poros nol (atau poros kecil yang tidak perlu) dan menjaga kestabilan numerik aritmatika.

Menulis ulang matriks sebagai hasil kali dua atau lebih matriks yang lebih sederhana. Dekomposisi LU adalah salah satu faktorisasi yang paling banyak digunakan karena sistem segitiga (seperti L dan U) jauh lebih murah untuk diselesaikan dibandingkan matriks umum.

👥

Skenario

Contoh dalam kehidupan nyata

3 contoh nyata

🔢

3×3 without pivoting

SEBUAH = [[4, 1, 1], [2, 5, 1], [1, 1, 3]]

Ukuran 3×3 Matriks [4, 1, 1, 2, 5, 1, 1, 1, 3]

Entri terbesar kolom 1 sudah ada pada diagonal (4 ketukan 2 dan 1), jadi tidak diperlukan pertukaran. Menghilangkan menghasilkan L = [[1,0,0],[0.5,1,0],[0.25,0.1667,1]] dan U = [[4,1,1],[0,4.5,0.5],[0,0,2.6667]]. det(A) = 4 × 4,5 × 2,6667 = 48, cocok dengan pemuaian langsung.

🔁

Matriks perlu diputar sebagian

SEBUAH = [[0, 1, 1], [2, 1, 1], [1, 2, 3]]

Ukuran 3×3 Matriks [0, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 3]

Angka nol berada di tempat (1,1), jadi kolom 1 segera bertukar di baris 2 (entri 2). Setelah dihilangkan, kolom 2 memerlukan pertukaran kedua. Dua pertukaran berarti koreksi tanda dibatalkan: det(A) = +(2 × 1.5 × −0.6667) = −2, yang cocok dengan perluasan langsung A asli.

🧮

Penentu membaca diagonal U

A = [[2, 1, 0, 3], [0, 3, 4, 1], [0, 0, 1, 2], [0, 0, 0, 5]]

Ukuran 4×4 Matriks [2, 1, 0, 3, 0, 3, 4, 1, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 0, 5]

A sudah berbentuk segitiga atas, jadi U = A persis dan L adalah identitasnya — tidak perlu dilakukan eliminasi atau pivot. det(A) hanyalah hasil kali diagonal: 2 × 3 × 1 × 5 = 30.

🔗

Referensi

Sitasi kalkulator ini

APA & MLA

Gunakan salah satu format ini untuk menyitasi kalkulator dalam makalah, laporan, atau daftar sumber.

APA

MLA

📄

Ulasan mendalam

Memahami Kalkulator Dekomposisi LU

3 bab · 4 menit membaca

Dekomposisi LU menulis ulang matriks persegi A sebagai hasil kali matriks segitiga bawah L dan matriks segitiga atas U, sehingga A = LU. Ini adalah aritmatika yang sama dengan eliminasi Gaussian biasa, hanya dikemas sehingga pekerjaan eliminasi dapat digunakan kembali — itulah sebabnya ini adalah metode default yang digunakan sebagian besar perpustakaan numerik untuk menyelesaikan sistem linier, membalikkan matriks, dan menghitung determinan.

Mengapa repot-repot memfaktorkan A?

Jika Anda hanya perlu menyelesaikan Ax = b satu kali, eliminasi Gaussian biasa pada matriks yang diperbesar akan berfungsi dengan baik. Dekomposisi LU bermanfaat ketika Anda perlu menyelesaikan Ax = b untuk A yang sama terhadap banyak vektor b yang berbeda — situasi umum dalam simulasi, analisis rangkaian, dan pemecah berulang. Setelah A = LU dihitung, setiap b baru hanya memerlukan substitusi maju yang murah (selesaikan Ly = b) diikuti dengan substitusi kembali yang murah (selesaikan Ux = y), alih-alih menjalankan kembali eliminasi O(n³) penuh dari awal setiap saat.

Bagaimana perputaran parsial menjaganya tetap benar

Eliminasi Gaussian memecah saat pivot (entri diagonal yang akan Anda bagi) adalah nol — Anda tidak dapat membagi dengan nol, dan membagi dengan angka yang sangat kecil akan memperbesar kesalahan pembulatan. Pivot parsial memperbaikinya dengan memindai baris yang tersisa di kolom saat ini dan menukar baris mana pun yang memiliki nilai absolut terbesar sebelum menghilangkannya. Setiap pertukaran dilacak dalam matriks permutasi P, sehingga identitas yang disimpan setelahnya adalah P·A = L·U dan bukan A = L·U. Tab Langkah di kalkulator ini menunjukkan dengan tepat kapan dan mengapa setiap pertukaran terjadi.

Penentunya adalah produk sampingan gratis

Karena L berbentuk segitiga dengan diagonal 1s, det(L) = 1 selalu. Karena U berbentuk segitiga, determinannya hanyalah hasil kali diagonalnya. Dan karena setiap pertukaran baris membalik tanda determinan, det(A) menghasilkan (−1)^(jumlah pertukaran) × (hasil kali diagonal U) — tidak diperlukan ekspansi kofaktor terpisah. Hal ini juga yang menyebabkan angka nol di mana pun pada diagonal U menandakan matriks tunggal: hasil kali menjadi nol, jadi det(A) = 0 tidak peduli apa pun putaran yang dilakukan selama proses tersebut.

❓

Pertanyaan

Pertanyaan umum

6 pertanyaan

Apa rumus di balik dekomposisi LU?+

A = LU, dihasilkan dengan menjalankan eliminasi Gaussian dan mencatat setiap pengali eliminasi ke dalam L alih-alih membuangnya, sementara U menyimpan sisa setelah eliminasi. Ketika pivoting parsial diperlukan, hubungan persisnya adalah P·A = LU, dimana P mencatat pertukaran baris apa pun.

Apa yang dimaksud dengan "Doolittle"?+

Metode Doolittle adalah konvensi LU spesifik yang digunakan kalkulator ini: Entri diagonal L semuanya dipaksa menjadi 1, sehingga setiap pengali eliminasi memiliki satu tempat tinggal yang tidak ambigu. (Metode Crout adalah konvensi bayangan cermin, yang memaksa diagonal U menjadi 1s.)

Kapan dekomposisi LU gagal?+

Ini gagal total hanya ketika kolom tidak memiliki pivot yang dapat digunakan - setiap entri dari baris ke bawah saat ini adalah nol - dan tidak ada pertukaran baris yang dapat memperbaikinya. Perputaran sebagian (menukar entri terbesar yang tersedia, menghasilkan P·A = LU) menyelamatkan sebagian besar kasus di mana entri diagonal mentah saja akan menjadi nol.

Bagaimana cara mendapatkan determinan dari dekomposisi LU?+

Lipat gandakan entri diagonal U, lalu balikkan tandanya satu kali untuk setiap pertukaran baris yang dilakukan selama putaran parsial. Tanpa swap, det(A) hanyalah hasil kali diagonal U.

Untuk apa sebenarnya dekomposisi LU digunakan?+

Terutama untuk menyelesaikan Ax = b secara efisien, terutama ketika A yang sama perlu diselesaikan terhadap banyak vektor b yang berbeda — setiap penyelesaian baru hanya memerlukan substitusi maju dan mundur, bukan eliminasi penuh. Ini juga merupakan metode standar yang digunakan pustaka numerik secara internal untuk menghitung determinan dan invers matriks.

Bagaimana cara memeriksa apakah L dan U saya benar?+

Kalikan L dengan U dan bandingkan hasilnya dengan matriks asli A (atau dengan P·A jika terjadi pertukaran baris) — keduanya harus cocok. Kalkulator ini melakukan pemeriksaan tersebut secara otomatis pada tab Penentu & Verifikasi.

Unduh PDF satu halaman berisi hasil Anda. Masukkan alamat email untuk menerima kiat kalkulator sesekali. Tanpa spam, dan Anda dapat berhenti berlangganan kapan saja. Privasi.

Kalkulator Dekomposisi LU

Matriks A

A = L × U

Langkah-langkah eliminasi Gaussian

Jalan eliminasi

det(A) dan verifikasi

itu(A)

Cara menggunakan kalkulator ini

Pilih ukuran matriks

Masukkan entri matriks A

Baca L dan U

Buka tab Langkah

Periksa determinan dan verifikasi

Rumus dan metodologi

Penjelasan istilah penting

Contoh dalam kehidupan nyata

3×3 without pivoting

Matriks perlu diputar sebagian

Penentu membaca diagonal U

Sitasi kalkulator ini

Memahami Kalkulator Dekomposisi LU

Mengapa repot-repot memfaktorkan A?

Bagaimana perputaran parsial menjaganya tetap benar

Penentunya adalah produk sampingan gratis

Pertanyaan umum

Dapatkan PDF hasil dengan merek Calculover

Kalkulator Dekomposisi LU

Matriks A

A = L × U

Langkah-langkah eliminasi Gaussian

Jalan eliminasi

det(A) dan verifikasi

itu(A)

Cara menggunakan kalkulator ini

Pilih ukuran matriks

Masukkan entri matriks A

Baca L dan U

Buka tab Langkah

Periksa determinan dan verifikasi

Rumus dan metodologi

Penjelasan istilah penting

Contoh dalam kehidupan nyata

Sitasi kalkulator ini

Memahami Kalkulator Dekomposisi LU

Mengapa repot-repot memfaktorkan A?

Bagaimana perputaran parsial menjaganya tetap benar

Penentunya adalah produk sampingan gratis

Pertanyaan umum

Dapatkan PDF hasil dengan merek Calculover

Jelajahi lebih lanjut

kalkulator terkait

Panduan & artikel