What is the cofactor expansion formula?

det(A) = Σⱼ (−1)^(i+j) · A[i][j] · Mᵢⱼ, where the sum runs over the entries of a chosen row i (or, symmetrically, over a chosen column j), and Mᵢⱼ is the determinant of the minor left after deleting that row and column.

A minor Mᵢⱼ is the determinant of the smaller matrix left over after deleting row i and column j from the original matrix. For a 3×3 matrix, every minor is a 2×2 determinant; for a 4×4 matrix, every minor is a 3×3 determinant.

What determines the +/− sign pattern?

The sign is (−1)^(i+j), which produces a checkerboard pattern: + when the row and column indices sum to an even number, − when they sum to an odd number. The pattern always starts with + in the top-left corner.

Which row or column is best to expand along?

Any row or column gives the same final determinant, but the one with the most zero entries takes the least arithmetic — every zero entry makes its whole term vanish without needing to compute a minor for it.

Do I get the same determinant no matter which row or column I choose?

Yes, always. That's a fundamental property of the determinant — cofactor expansion along any row or any column of the same matrix produces the identical numeric result.

How does this work for a 4×4 matrix?

Each entry's minor for a 4×4 matrix is a 3×3 matrix, so the calculator computes that 3×3 minor's determinant (recursing down to the 2×2 base case internally) before combining the four top-level terms into the final 4×4 determinant.

Kalkulator Ekspansi Kofaktor — Ekspansi Laplace

📋

Panduan langkah demi langkah

Cara menggunakan kalkulator ini

4 langkah

1

Pilih ukuran matriks

Pilih 3×3 atau 4×4 dari pemilih ukuran. Grid entri diubah ukurannya agar sesuai, dan contoh yang dikerjakan dimuat secara otomatis sehingga Anda dapat langsung melihat metode ini beraksi.

2

Masukkan nilai matriks Anda

Klik sel mana pun dalam matriks A dan ketikkan angka. Langkah-langkah determinan, minor, kofaktor, dan perluasan semuanya diperbarui secara instan saat Anda mengedit — tidak ada tombol Hitung untuk ditekan.

3

Pilih baris atau kolom untuk diperluas

Gunakan pemilih Perluas Sepanjang untuk memilih baris atau kolom mana pun. Penentunya selalu sama, apa pun yang Anda pilih — memilih yang memiliki angka nol paling banyak hanya akan membuat aritmatika menjadi lebih pendek.

4

Baca minor, kofaktor, dan langkahnya

Tab Minor & Kofaktor memperlihatkan pola tanda kotak-kotak ditambah setiap matriks minor dan determinannya untuk baris atau kolom yang Anda pilih. Tab Langkah Perluasan menampilkan persamaan substitusi lengkap mulai dari rumus hingga jawaban akhir.

⚡

Referensi

Rumus dan metodologi

2 rumus

Ekspansi Laplace (kofaktor).

det(A) = Σⱼ (−1)^(i+j) · A[i][j] · Mᵢⱼ

Untuk memperluas sepanjang baris i, jumlahkan setiap kolom j: kalikan setiap entri A[i][j] dengan kofaktornya, yang merupakan determinan bertanda dari minor Mᵢⱼ — matriks (n−1)×(n−1) yang tersisa setelah menghapus baris i dan kolom j. Tandanya bergantian dalam pola kotak-kotak, (−1)^(i+j). Memperluas sepanjang kolom bekerja dengan cara yang sama, menjumlahkan baris i untuk kolom tetap j. Hasilnya sama, tidak peduli baris atau kolom mana yang dipilih.

4×4 recursion

M₄ₓ₄ minor → expanded again down to a 2×2 base case

Untuk matriks 4×4, setiap minornya sendiri merupakan matriks 3×3. Kalkulator ini menghitung determinan minor 3×3 secara langsung (berulang secara internal ke kasus dasar 2×2 ad − bc), sehingga perluasan 4×4 selalu menghasilkan empat minor 3×3 yang dikerjakan sepenuhnya.

📖

Glosarium

Penjelasan istilah penting

7 istilah

Penentu minor bertanda pada baris dan kolom tertentu: Cᵢⱼ = (−1)^(i+j) · Mᵢⱼ. Tandanya bergantian dalam pola kotak-kotak yang dimulai dengan + di kiri atas.

Penentu matriks yang lebih kecil yang tersisa setelah penghapusan satu baris dan satu kolom dari matriks asal. Minor dari matriks 3×3 adalah determinan 2×2; minor dari matriks 4×4 adalah determinan 3×3.

Nama lain untuk ekspansi kofaktor — metode menghitung determinan dengan menjumlahkan produk entri yang ditandatangani dan kofaktornya di sepanjang baris atau kolom mana pun.

Pola +/− bergantian dari (−1)^(i+j) di setiap sel matriks, dimulai dengan + di pojok kiri atas. Ini menentukan apakah setiap suku dalam perluasan ditambah atau dikurangi.

Angka tunggal yang dihitung dari matriks persegi yang mengkodekan properti seperti invertibilitas dan penskalaan volume. Ekspansi kofaktor adalah salah satu metode umum untuk menghitungnya.

Baris atau kolom dipilih sebagai dasar perluasan. Setiap baris atau kolom memberikan determinan akhir yang sama — memilih satu dengan lebih banyak entri nol akan mengurangi jumlah minor yang perlu dihitung.

Matriks dibentuk dengan mengganti setiap entri dengan kofaktornya sendiri. Ini adalah langkah perantara yang digunakan oleh metode lain (seperti rumus adjugasi/invers) tetapi kalkulator ini hanya menghitung kofaktor yang diperlukan untuk baris atau kolom yang Anda pilih.

👥

Skenario

Contoh dalam kehidupan nyata

3 contoh nyata

🔢

3×3 expanded along row 1

SEBUAH = [[1, 2, 3], [0, 1, 4], [5, 6, 0]]

Matriks A [[1, 2, 3], [0, 1, 4], [5, 6, 0]] Perluas bersama Baris 1

Perluasan sepanjang baris 1: det(A) = 1·M₁₁ − 2·M₁₂ + 3·M₁₃ = 1·(1·0 − 4·6) − 2·(0·0 − 4·5) + 3·(0·6 − 1·5) = 1·(−24) − 2·(−20) + 3·(−5) = −24 + 40 − 15 = 1. Contoh buku teks klasik — det(A) = 1 tidak peduli baris atau kolom mana yang Anda perluas.

🔢

4×4 along a zero-heavy row

A = [[2, 0, 1, 3], [0, 0, 5, 0], [1, 4, 2, 1], [3, 1, 0, 2]]

Matriks A [[2, 0, 1, 3], [0, 0, 5, 0], [1, 4, 2, 1], [3, 1, 0, 2]] Perluas bersama Baris 2

Baris 2 memiliki tiga entri nol, sehingga tiga dari empat suku kofaktor hilang secara otomatis — hanya 5 tunggal pada baris tersebut yang perlu menghitung minor 3×3. Itulah hasil efisiensi dari memilih baris atau kolom terberat nol: determinan yang sama dengan aritmatika yang jauh lebih sedikit dibandingkan memperluas sepanjang baris yang penuh dengan bilangan bukan nol.

🔢

Membaca pola tanda kotak-kotak

Any n×n matrix

Posisi (1,1) + Posisi (1,2) −

Setiap posisi (i, j) mendapat tanda (−1)^(i+j): + bila indeks baris dan kolom berjumlah genap, − bila berjumlah ganjil. Membaca di setiap baris (atau di bawah kolom mana pun), tanda-tandanya selalu bergantian +, −, +, −, itulah sebabnya disebut pola kotak-kotak. Tab Minors & Cofactors menggambar grid penuh ini dan menyorot baris atau kolom yang sedang diperluas.

🔗

Referensi

Sitasi kalkulator ini

APA & MLA

Gunakan salah satu format ini untuk menyitasi kalkulator dalam makalah, laporan, atau daftar sumber.

APA

MLA

📄

Ulasan mendalam

Memahami Kalkulator Ekspansi Kofaktor

4 bab · 4 menit membaca

Ekspansi kofaktor (Laplace) adalah metode umum untuk menghitung determinan matriks dengan tangan: pilih baris atau kolom mana pun, kalikan setiap entri dengan determinan minor bertanda, dan jumlahkan hasilnya. Kalkulator ini memungkinkan Anda memilih sendiri baris atau kolom tersebut untuk matriks 3×3 atau 4×4, lalu menampilkan setiap minor, setiap kofaktor, dan persamaan yang tersubstitusi sepenuhnya — langkah-langkah yang sama seperti yang diharapkan oleh kursus aljabar linier untuk Anda tuliskan.

Cara kerja ekspansi kofaktor

Pilih baris (atau kolom) yang akan diperluas. Untuk setiap entri pada baris tersebut, hapus baris dan kolomnya dari matriks untuk mendapatkan matriks "minor" yang lebih kecil, lalu ambil determinan minor tersebut. Lipat gandakan entri tersebut dengan determinan minornya dan dengan tanda bolak-balik (+, −, +, − dalam pola kotak-kotak berdasarkan posisi), lalu jumlahkan semua hasil perkalian bertanda tersebut. Hasilnya adalah determinan seluruh matriks — dan hasilnya tetap sama, apa pun baris atau kolom yang Anda pilih.

Untuk matriks 4×4, setiap minornya sendiri adalah matriks 3×3, sehingga kalkulator langsung menghitung determinan yang lebih kecil sebelum menggabungkannya ke dalam jumlah tingkat atas. Tab Langkah Perluasan menampilkan rumus, angka pengganti, dan total lari yang dijumlahkan hingga jawaban akhir.

Masukan dan artinya

Pilih ukuran matriks (3×3 atau 4×4), isi kisi dengan bilangan real apa pun, lalu pilih baris atau kolom dari pemilih Perluas Sepanjang. Tidak ada konversi satuan yang terlibat — kalkulator bekerja pada angka persis seperti yang dimasukkan. Gunakan tombol preset untuk memuat matriks identitas, contoh yang berhasil, atau kisi kosong untuk memulai dari awal.

Mengapa pilihan baris atau kolom penting (dan tidak penting)

Secara matematis, setiap baris dan kolom menghasilkan determinan yang sama persis — itulah properti inti ekspansi kofaktor. Namun secara praktis, beberapa pilihan jauh lebih cepat untuk dihitung dengan tangan: baris atau kolom dengan lebih banyak entri nol berarti lebih banyak suku kofaktor yang hilang secara otomatis, karena apa pun yang dikalikan dengan nol tidak memberikan kontribusi apa pun terhadap penjumlahan tersebut. Coba alihkan pemilih Perluas Sepanjang antara baris berisi angka nol dan baris berisi angka bukan nol untuk melihat penyusutan aritmatika.

Batasan dan kasus tepi

Kalkulator ini hanya mendukung matriks 3×3 dan 4×4. Untuk determinan yang dihitung dengan satu metode tetap ditambah cek tunggal/dapat dibalik, lihat Kalkulator Penentu Matriks; untuk invers melalui metode adjugat (matriks kofaktor), lihat Kalkulator Invers Matriks; untuk matriks yang lebih besar atau pengurangan baris Gauss-Jordan, gunakan Kalkulator Matriks umum.

❓

Pertanyaan

Pertanyaan umum

6 pertanyaan

Apa rumus ekspansi kofaktor?+

det(A) = Σⱼ (−1)^(i+j) · A[i][j] · Mᵢⱼ, dengan jumlah yang melewati entri baris i yang dipilih (atau, secara simetris, pada kolom yang dipilih j), dan Mᵢⱼ adalah determinan dari minor kiri setelah menghapus baris dan kolom tersebut.

Apa itu anak di bawah umur?+

Mᵢⱼ minor adalah determinan matriks yang lebih kecil yang tersisa setelah baris i dan kolom j dihapus dari matriks aslinya. Untuk matriks 3×3, setiap minor merupakan determinan 2×2; untuk matriks 4×4, setiap minor adalah determinan 3×3.

Apa yang menentukan pola tanda +/−?+

Tandanya adalah (−1)^(i+j), yang menghasilkan pola kotak-kotak: + jika indeks baris dan kolom berjumlah genap, − jika jumlahnya ganjil. Polanya selalu dimulai dengan + di pojok kiri atas.

Baris atau kolom manakah yang terbaik untuk diperluas?+

Setiap baris atau kolom menghasilkan determinan akhir yang sama, namun baris atau kolom yang memiliki entri nol paling banyak memerlukan aritmatika paling sedikit — setiap entri nol membuat seluruh sukunya hilang tanpa perlu menghitung minornya.

Apakah saya mendapatkan determinan yang sama, tidak peduli baris atau kolom mana yang saya pilih?+

Ya, selalu. Itu adalah sifat dasar determinan — perluasan kofaktor sepanjang baris atau kolom mana pun dari matriks yang sama menghasilkan hasil numerik yang sama.

Bagaimana cara kerjanya untuk matriks 4×4?+

Minor setiap entri untuk matriks 4×4 adalah matriks 3×3, sehingga kalkulator menghitung determinan minor 3×3 tersebut (berulang ke kasus dasar 2×2 secara internal) sebelum menggabungkan empat suku tingkat teratas ke dalam determinan akhir 4×4.

Unduh PDF satu halaman berisi hasil Anda. Masukkan alamat email untuk menerima kiat kalkulator sesekali. Tanpa spam, dan Anda dapat berhenti berlangganan kapan saja. Privasi.

Penentu