What is the volume formula for a torus?

V = 2π²Rr², where R is the major radius (center of the tube to the center of the torus) and r is the minor radius (radius of the tube). For R = 5 and r = 2, that's about 394.78 cubic units.

What is the surface area formula for a torus?

SA = 4π²Rr, using the same major radius R and minor radius r. For R = 5 and r = 2, that's about 394.78 square units.

What's the difference between the major and minor radius?

The major radius (R) is the distance from the center of the whole torus to the center of the tube. The minor radius (r) is the radius of the tube itself — how thick the donut ring is.

Is a torus the same as a donut?

Yes — a torus is the mathematical name for a donut shape: a ring formed by revolving a circle of radius r around an axis at distance R from the circle's center.

What units does the calculator use?

Both radii use your chosen linear unit. Volume automatically uses that unit cubed, and surface area uses that unit squared.

How does Pappus's theorem relate to these formulas?

Yes — both formulas come from Pappus's centroid theorem, which says the volume (or surface area) swept by revolving a shape around an external axis equals the shape's area (or perimeter) times the distance its centroid travels, 2πR.

Kalkulator Torus — Volume Donat & Luas Permukaan

jari-jari

Jari-jari mayor (R)

Jari-jari kecil (r)

Satuan

Jari-jari mayor (R) adalah jarak dari pusat torus ke pusat tabung; jari-jari minor (r) adalah jari-jari tabung itu sendiri. Untuk donat normal (tidak berpotongan sendiri), r harus lebih kecil dari R.

Coba:

Volume

—

Masukkan jari-jari mayor dan minor di atas untuk melihat volumenya.

—

Volume

Masukkan jari-jari mayor dan minor di atas untuk melihat volume torus.

Langkah-langkah yang berhasil

3 menit membaca 3 langkah 6 istilah 3 contoh 6 pertanyaan V = 2π² · R · r²

Torus mempunyai dua parameter bebas — radius mayor R dan radius minor r — dan volume serta luas permukaannya mengikuti langsung dari keduanya melalui teorema sentroid Pappus.

📋

Panduan langkah demi langkah

Cara menggunakan kalkulator ini

3 langkah

Masukkan jari-jari mayor dan minor

Ketik radius mayor (R) — jarak dari pusat seluruh torus ke pusat tabung — dan radius minor (r) — jari-jari tabung itu sendiri. Pilih satuan; ini hanya label tampilan, karena perhitungannya adalah unit-agnostik.

Baca volume dan luas permukaannya

Tab Volume mengarah dengan V = 2π²Rr² dan menampilkan luas permukaan sebagai stat pendukung; tab Surface Area membaliknya, diawali dengan SA = 4π²Rr. Keduanya diperbarui secara instan saat Anda mengubah R atau r.

Selesaikan mundur jika perlu

Beralih ke tab Radii untuk pergi ke arah lain: masukkan volume target atau luas permukaan ditambah radius mana pun yang sudah Anda ketahui, dan kalkulator akan mencari radius yang hilang, menunjukkan langkah-langkah yang dikerjakan.

⚡

Referensi

Rumus dan metodologi

4 rumus

Volume torus

V = 2π² · R · r²

R adalah jari-jari mayor (pusat torus ke pusat tabung), r adalah jari-jari minor (jari-jari tabung). Volume berskala dengan kuadrat jari-jari kecil, jadi menggandakan ketebalan tabung akan melipatgandakan volumenya. Satuannya adalah kubik (misalnya, kaki kubik, sentimeter kubik).

Luas permukaan torus

SA = 4π² · R · r

Total luas permukaan luar torus. Luas permukaan berskala linier dengan kedua jari-jarinya, jadi menggandakan salah satu jari-jari tersebut akan menggandakan luas permukaan. Satuannya berbentuk persegi (misalnya, kaki persegi, sentimeter persegi).

Memecahkan mundur

r = √(V ÷ 2π²R) or R = V ÷ (2π²r²) or r = SA ÷ (4π²R) or R = SA ÷ (4π²r)

Setiap rumus maju dapat dibalik untuk memulihkan radius yang hilang dari volume target atau luas permukaan, dengan mempertimbangkan radius lainnya. Tab Radii kalkulator ini melakukan inversi mana pun yang cocok dengan masukan Anda.

Teorema pusat massa Pappus

V = A · d, SA = P · d

Kedua rumus torus tersebut merupakan kasus khusus dari teorema Pappus: menyapu suatu bentuk (di sini, lingkaran berjari-jari r) di sekitar sumbu luar menghasilkan volume yang sama dengan luas bangun tersebut (A = πr²) dikalikan jarak yang ditempuh pusat massanya dalam satu putaran (d = 2πR). Logika yang sama memberikan luas permukaan dari keliling lingkaran (P = 2πr).

📖

Glosarium

Penjelasan istilah penting

6 istilah

Permukaan tiga dimensi berbentuk cincin yang dibentuk dengan memutar lingkaran mengelilingi sumbu yang terletak pada bidang yang sama dengan lingkaran tetapi tidak memotongnya — nama matematika untuk bentuk donat.

Jarak (R) dari pusat seluruh torus ke pusat tabung — pada dasarnya, jari-jari lubang tengah donat ditambah setengah ketebalan tabung.

Jari-jari (r) tabung itu sendiri — seberapa tebal cincin donat, diukur dari pusat penampang tabung hingga tepi luarnya.

Nama sehari-hari untuk torus — bentuk cincin dengan lubang di tengahnya, yang volume dan luas permukaannya mengikuti rumus yang sama baik saat Anda mendeskripsikan kue atau permukaan matematika.

Tindakan memutar bentuk dua dimensi (di sini, lingkaran) 360° mengelilingi sumbu untuk menyapu benda padat tiga dimensi — torus dihasilkan dengan memutar lingkaran berjari-jari r mengelilingi sumbu pada jarak R dari pusatnya.

Penampang lingkaran yang bila diputar mengelilingi poros tengah akan membentuk cincin torus. Jari-jari tabung adalah jari-jari minor (r).

👥

Skenario

Contoh dalam kehidupan nyata

3 contoh nyata

🍩

Perhitungan ke depan

Jari-jari mayor = 5, jari-jari kecil = 2

Radius utama 5 ft Radius kecil 2 ft

Dengan radius mayor 5 kaki dan radius minor 2 kaki, volumenya sekitar 394,78 kaki³ dan luas permukaannya sekitar 394,78 kaki². Ini adalah contoh default kalkulator — pemeriksaan menyeluruh apakah kedua rumus sesuai dengan nilai referensi standar untuk R=5, r=2.

📐

Menyelesaikan mundur dari volume

Volume target = 394,78, radius utama diketahui = 5

Ukuran sasaran Volume = 394.78 ft³ Jari-jari yang diketahui Major radius = 5 ft

Mengingat volume target sebesar 394,78 kaki kubik dan radius mayor yang diketahui sebesar 5 kaki, penyelesaian r = √(V ÷ 2π²R) akan memulihkan radius minor sekitar 2,00 kaki — torus yang sama seperti contoh pertama, dikerjakan secara terbalik. Pola ini berlaku untuk masalah seperti mengukur tangki berbentuk cincin atau paking agar mencapai kapasitas yang dibutuhkan.

🍩

Pembingkaian donat dunia nyata

Donat dengan rentang lubang-ke-lubang 4 inci dan cincin setebal 1 inci

Radius utama 2 in Radius kecil 1 in

Untuk torus berukuran donat dengan radius mayor 2 inci dan radius minor 1 inci, volumenya menjadi sekitar 39,48 in³ dan luas permukaannya sekitar 78,96 in². Karena r tidak lebih kecil dari R di sini, bentuk khusus ini berada di batas perpotongan diri - sebuah pengingat bahwa donat asli selalu menjaga radius minor lebih kecil daripada radius mayor untuk menghindari lubang terjepit atau tumpang tindih.

🔗

Referensi

Sitasi kalkulator ini

APA & MLA

Gunakan salah satu format ini untuk menyitasi kalkulator dalam makalah, laporan, atau daftar sumber.

APA

MLA

📄

Ulasan mendalam

Volume torus dan luas permukaan, serta hubungannya dengan donat

3 bab · 3 menit membaca

Torus mempunyai dua parameter bebas — radius mayor R dan radius minor r — dan volume serta luas permukaannya mengikuti langsung dari keduanya melalui teorema sentroid Pappus. Kalkulator ini menangani arah maju (jari-jari masuk, volume dan luas permukaan keluar) dan arah mundur (ukuran target ditambah satu jari-jari yang diketahui, menyelesaikan yang lainnya).

Mengapa rumusnya terlihat seperti luas dan keliling lingkaran, dikali 2πR

Torus dihasilkan dengan memutar lingkaran berjari-jari r mengelilingi sumbu pada jarak R dari pusat lingkaran. Teorema pusat massa Pappus menyatakan bahwa volume yang dihasilkan sama dengan luas lingkaran (πr²) dikalikan jarak yang ditempuh pusat massanya dalam satu putaran penuh (2πR) — menghasilkan V = πr² × 2πR = 2π²Rr². Cara menghitung luas permukaan sama dengan menggunakan keliling lingkaran (2πr) dan bukan luasnya: SA = 2πr × 2πR = 4π²Rr. Kedua rumus tersebut sebenarnya hanyalah "ukuran bentuk dikalikan jarak sapuan".

Batas perpotongan diri: ketika r ≥ R

Torus berbentuk donat standar mengharuskan radius minor lebih kecil dari radius mayor (r < R) — jika tidak, tabung harus melewati sumbu tengah, sehingga menghasilkan "torus tanduk" yang terjepit (r = R) atau "torus spindel" yang berpotongan sendiri (r > R) dan bukan cincin normal. Rumus volume dan luas permukaan tetap menghitung angka dalam kedua kasus tersebut, namun bentuk yang digambarkannya bukan lagi donat sederhana, jadi kalkulator ini menandai kondisi ketika hal tersebut terjadi.

Ketika Anda perlu menyelesaikannya secara terbalik

Sebagian besar soal di buku teks memberi Anda jari-jari dan menanyakan volume atau luas permukaan. Masalah di dunia nyata sering kali berjalan sebaliknya: Anda mengetahui bahwa bagian berbentuk cincin perlu menahan volume tertentu, atau Anda mengetahui berapa banyak material yang menutupi permukaannya, dan Anda perlu menemukan dimensi yang hilang. Menyelesaikan masalah mundur berarti membalik rumus maju untuk radius mana pun yang tidak diketahui — tab Radii pada kalkulator ini melakukan hal tersebut secara otomatis berdasarkan ukuran dan radius diketahui yang Anda pilih.

❓

Pertanyaan

Pertanyaan umum

6 pertanyaan

Apa rumus volume torus?+

V = 2π²Rr², dimana R adalah jari-jari mayor (pusat tabung ke pusat torus) dan r adalah jari-jari minor (jari-jari tabung). Untuk R = 5 dan r = 2, yaitu sekitar 394,78 satuan kubik.

Apa rumus luas permukaan torus?+

SA = 4π²Rr, menggunakan radius mayor R dan radius minor r yang sama. Untuk R = 5 dan r = 2, itu berarti sekitar 394,78 satuan persegi — kebetulan sama dengan volume dalam contoh khusus ini.

Apa perbedaan radius mayor dan minor?+

Jari-jari mayor (R) adalah jarak dari pusat seluruh torus ke pusat tabung. Jari-jari minor (r) adalah jari-jari tabung itu sendiri — seberapa tebal cincin donatnya. R mengukur ukuran cincin; r mengukur ketebalan bahan pembentuknya.

Apakah torus sama dengan donat?+

Ya — torus adalah nama matematika untuk bentuk donat: cincin yang dibentuk dengan memutar lingkaran berjari-jari r mengelilingi sumbu pada jarak R dari pusat lingkaran, selama r tetap lebih kecil dari R.

Satuan apa yang digunakan kalkulator?+

Jari-jari mayor dan minor menggunakan satuan linier mana pun yang Anda pilih (inci, kaki, yard, sentimeter, atau meter). Volume secara otomatis menggunakan satuan pangkat tiga, dan luas permukaan secara otomatis menggunakan satuan kuadrat tersebut.

Bagaimana teorema Pappus berhubungan dengan rumus-rumus ini?+

Kedua rumus tersebut merupakan aplikasi langsung dari teorema pusat massa Pappus: memutar lingkaran dengan luas πr² dan keliling 2πr mengelilingi sumbu luar sejauh R akan menyapu volume (πr²)(2πR) = 2π²Rr² dan luas permukaan (2πr)(2πR) = 4π²Rr.

Unduh PDF satu halaman berisi hasil Anda. Masukkan alamat email untuk menerima kiat kalkulator sesekali. Tanpa spam, dan Anda dapat berhenti berlangganan kapan saja. Privasi.

Kalkulator Torus