Tripel Pythagoras adalah himpunan tiga bilangan bulat yang benar-benar sesuai dengan teorema Pythagoras — tanpa pembulatan, tanpa desimal. Kalkulator ini menghasilkan angka-angka tersebut dari rumus Euclid, memeriksa apakah bilangan-bilangan yang sudah Anda miliki berbentuk satu, dan mencantumkan setiap tripel yang memuat sisi tertentu, menggunakan hubungan yang sama yang telah memperkuat geometri segitiga siku-siku sejak jaman dahulu.
Mengapa (3, 4, 5) istimewa
(3, 4, 5) adalah tripel Pythagoras terkecil dan satu-satunya yang tersusun dari tiga bilangan bulat berurutan. Karena 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5², segitiga dengan panjang sisi-sisi tersebut selalu memiliki sudut sempurna 90° — itulah sebabnya para pembangun telah menggunakan 3-4-5 (dan kelipatannya, seperti 6-8-10) tali dan pita pengukur untuk sudut persegi selama ribuan tahun, jauh sebelum ada orang yang menuliskan aljabar di belakangnya.
Setiap kelipatan (3, 4, 5) — (6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20), dan seterusnya selamanya — juga merupakan tripel valid, karena penskalaan setiap sisi segitiga siku-siku dengan faktor yang sama akan mempertahankan semua sudutnya.
Rumus Euclid menghasilkan semuanya
Euclid membuktikan bahwa setiap tripel Pythagoras primitif dapat dihasilkan dari sepasang bilangan bulat m dan n (dengan m > n > 0, koprima, dan paritas berlawanan) melalui a = m² − n², b = 2mn, c = m² + n². Memasukkan m = 2, n = 1 menghasilkan (3, 4, 5); m = 3, n = 2 menghasilkan (5, 12, 13); m = 4, n = 1 menghasilkan (8, 15, 17). Maka setiap tripel non-primitif hanyalah kelipatan bilangan bulat dari salah satu tripel tersebut.
Ini lebih dari sekadar rasa ingin tahu — ini berarti himpunan tripel Pythagoras tak terhingga memiliki deskripsi yang lengkap dan terbatas: pilih pasangan mana saja yang valid (m, n) untuk tripel primitif, lalu skalakan dengan bilangan bulat positif untuk sisanya.
Primitif vs. non-primitif, dan cara membedakannya
Triple bersifat primitif jika gcd(a, b, c) = 1 — ketiga bilangan tersebut tidak memiliki faktor persekutuan. (5, 12, 13) bersifat primitif; (10, 24, 26) tidak, karena membagi setiap suku dengan 2 akan menghasilkan (5, 12, 13). Untuk memeriksa apakah tripel yang Anda temukan primitif, carilah pembagi persekutuan terbesar dari ketiga bilangan tersebut: jika bernilai 1, Anda mempunyai tripel primitif; jika k > 1, membagi dengan k akan menunjukkan tripel primitif di bawahnya.
Perbedaan ini penting ketika membuat daftar setiap tripel yang memuat sisi tertentu: daftar lengkap selalu terbagi menjadi beberapa tripel primitif ditambah kelipatan skalanya, dan tab Daftar per Sisi pada kalkulator ini memberi label pada setiap hasil sesuai dengan itu.