What does synthetic division actually compute?

It divides a polynomial P(x) by a linear factor (x − c), producing a quotient polynomial one degree lower and a constant remainder — using only a short table of the polynomial's coefficients instead of full long division.

What is the remainder theorem, and how does this calculator use it?

The remainder theorem says that dividing P(x) by (x − c) always leaves a remainder equal to P(c), the polynomial evaluated at x = c. The calculator's Remainder Theorem tab shows this value directly — it's the same number as the remainder from the Quotient & Remainder tab, just framed as an evaluation instead of a division.

How do I know if (x − c) is a factor of the polynomial?

Check the remainder. If it's exactly 0, (x − c) divides the polynomial evenly, so it's a factor — and c is a root of the polynomial. If the remainder is anything other than 0, (x − c) is not a factor.

What if my polynomial is missing a term, like no x² at all?

Enter 0 as the coefficient for that term so the columns stay aligned with the right power of x. For example, x⁴ + 2x − 5 (no x³ or x² term) should be entered as 1, 0, 0, 2, -5.

Does synthetic division work for any divisor, or just (x − c)?

This calculator's method only works for a monic linear divisor of the exact form (x − c) — where the coefficient of x is exactly 1. Dividing by something like (2x − 3) isn't directly supported by synthetic division in this form; you'd need to factor out the leading coefficient first or use full polynomial long division instead.

Are the individual steps shown, not just the final answer?

Yes. The Steps tab renders the complete bring-down, multiply, and add table column by column, plus a plain-language narration of each step, so you can follow — or check your own hand-worked synthetic division — one column at a time.

Kalkulator Pembagian Sintetis — Polinomial (x − c)

📋

Panduan langkah demi langkah

Cara menggunakan kalkulator ini

3 langkah

1

Masukkan koefisiennya

Cantumkan setiap koefisien polinomial, dalam urutan derajat, dipisahkan dengan koma. Sertakan 0 untuk setiap suku yang hilang — untuk x⁴ − 6x² + 11x − 6 (tanpa suku x³), masukkan 1, 0, -6, 11, -6. Ini membuat kolom-kolomnya tetap sejajar sehingga kalkulator dapat menurunkan masing-masing kolom secara berurutan.

2

Masukkan akar pembagi, c

Pembagian sintetik dibagi dengan faktor linier berbentuk (x − c). Masukkan nilai c saja — misalnya, untuk membagi dengan (x − 3), masukkan 3. Untuk membagi dengan (x + 2), yaitu (x − (−2)), masukkan -2.

3

Bacalah hasil bagi, sisa, dan langkah-langkahnya

Tab Hasil Bagi & Sisa langsung menampilkan hasilnya. Beralih ke tab Langkah untuk melihat setiap pengurangan, perkalian, dan penjumlahan dalam tabel kerja, dan ke tab Teorema Sisa untuk melihat bagaimana sisa yang sama sama dengan P(c).

⚡

Referensi

Rumus dan metodologi

3 rumus

Algoritma pembagian

P(x) = (x − c) · Q(x) + R

Membagi polinomial P(x) dengan faktor linier (x − c) menghasilkan hasil bagi Q(x) dengan satu derajat lebih rendah dan sisa konstan R. Pembagian sintetik adalah jalan pintas untuk melakukan pembagian ini hanya dengan menggunakan koefisien.

Turunkan/kalikan/tambahkan

sum(0) = a(0); sum(i) = a(i) + c · sum(i−1)

Turunkan koefisien utama a(0). Untuk setiap koefisien berikut a(i), kalikan jumlah sebelumnya dengan c dan tambahkan dengan a(i) untuk mendapatkan jumlah berikutnya. Jumlah terakhir adalah sisanya; setiap jumlah sebelumnya adalah koefisien hasil bagi Q(x).

Teorema sisa

P(c) = R

Nilai polinomial pada x = c sama persis dengan sisa pembagian dengan (x − c). Pembagian sintetik menghitung ini secara gratis - jumlah akhir yang berjalan - tanpa pernah mensubstitusi c ke dalam polinomial dengan tangan.

📖

Glosarium

Penjelasan istilah penting

7 istilah

Metode pintas untuk membagi polinomial dengan faktor linier (x − c), hanya menggunakan koefisien polinomial yang disusun dalam tabel sederhana untuk menurunkan, mengalikan, dan menjumlahkan.

Ekspresi yang dibangun dari variabel yang dipangkatkan ke bilangan bulat dengan koefisien, seperti x³ − 6x² + 11x − 6.

Polinomial Q(x) hasil pembagian, satu derajat lebih rendah dari polinomial aslinya.

Konstanta yang tersisa setelah pembagian. Jika 0, pembagi membagi polinomial tersebut dengan tepat.

Aturan yang menyatakan bahwa membagi polinomial P(x) dengan (x − c) menyisakan sisa yang sama dengan P(c), nilai polinomial yang dievaluasi pada x = c.

Ekspresi linier (x − c) adalah faktor dari P(x) tepat jika membaginya dengan menyisakan sisa 0 — ekuivalen, jika P(c) = 0.

Pembagi derajat pertama berbentuk (x − c). Pembagian sintetik dalam bentuk ini hanya berlaku untuk pembagi yang bentuknya persis seperti ini, bukan untuk ekspresi linier umum seperti (2x − 3).

👥

Skenario

Contoh dalam kehidupan nyata

3 contoh nyata

🧮

Kubik buku teks

Membagi x³ − 6x² + 11x − 6 dengan (x − 1)

Koefisien 1, -6, 11, -6 c 1

Menurunkan 1, lalu mengalikan dan menjumlahkan baris tersebut menghasilkan jumlah berjalan 1, -5, 6, 0. Hasil bagi adalah x² − 5x + 6 dan sisanya adalah 0 — jadi (x − 1) adalah faktor, artinya x = 1 adalah akar pangkat tiga.

📐

Pemeriksaan teorema sisa

Mengevaluasi kubik yang sama di x = 4 tanpa melakukan substitusi dengan tangan

Koefisien 1, -6, 11, -6 c 4

Pembagian sintetik dengan (x − 4) menghasilkan jumlah akhir 6. Berdasarkan teorema sisa, artinya P(4) = 6 — dikonfirmasi secara langsung: 4³ − 6(4²) + 11(4) − 6 = 64 − 96 + 44 − 6 = 6, persis seperti pembagian sintetik yang ditemukan tanpa memperluas polinomialnya.

🔍

Tes faktor

Memeriksa apakah (x − 5) merupakan faktor dari kubik yang sama

Koefisien 1, -6, 11, -6 c 5

Jumlah akhir yang dihasilkan adalah 24, bukan 0. Karena sisanya bukan 0, (x − 5) bukan merupakan faktor polinomial, dan x = 5 bukan salah satu akarnya.

🔗

Referensi

Sitasi kalkulator ini

APA & MLA

Gunakan salah satu format ini untuk menyitasi kalkulator dalam makalah, laporan, atau daftar sumber.

APA

MLA

📄

Ulasan mendalam

Memahami Divisi Sintetis

3 bab · 4 menit membaca

Pembagian sintetik adalah cara yang cepat dan ringkas untuk membagi polinomial dengan faktor linier (x − c) — operasi yang sama dilakukan dengan pembagian panjang polinomial penuh, tetapi disederhanakan menjadi koefisien saja. Ini adalah alat kelas standar untuk menguji apakah suatu nilai merupakan akar, memfaktorkan polinomial dengan derajat yang lebih tinggi, dan mengevaluasi polinomial pada suatu titik tanpa memperluasnya.

Cara kerja tabel penurunan

Tuliskan koefisien polinomial di bagian atas, dalam urutan derajat, pastikan untuk menyertakan placeholder 0 untuk pangkat apa pun yang tidak muncul. Turunkan koefisien pertama — itulah awal dari penjumlahan berjalan. Kemudian, untuk setiap kolom berikutnya, kalikan jumlah berjalan saat ini dengan c dan tambahkan hasilnya ke koefisien kolom tersebut. Angka yang Anda peroleh menjadi entri berikutnya dalam baris jumlah berjalan dan masukan untuk perkalian berikutnya.

Setiap jumlah berjalan kecuali yang terakhir menjadi koefisien hasil bagi polinomial, yang mempunyai satu derajat lebih kecil dari bilangan asli. Jumlah berjalan terakhir adalah sisanya.

Mengapa ini juga memberi Anda P(c) gratis

Teorema Sisa menyatakan bahwa membagi polinomial P(x) dengan (x − c) selalu menyisakan sisa yang sama dengan P(c) — nilai polinomial di x = c. Itulah tepatnya yang dihitung oleh proses penurunan/perkalian/penjumlahan: secara aljabar identik dengan metode Horner untuk mengevaluasi polinomial. Jadi pembagian sintetik bukan sekadar jalan pintas pembagian — sekaligus merupakan cara tercepat untuk mengevaluasi P(c) tanpa mengganti c ke setiap suku dan menyederhanakannya secara manual.

Menggunakannya untuk menguji faktor dan menemukan akar

Karena sisanya sama dengan P(c), sisa 0 memberi tahu Anda dua hal sekaligus: (x − c) membagi polinomial dengan tepat, dan c adalah akar dari polinomial tersebut. Hal ini menjadikan pembagian sintetik sebagai alat standar untuk menguji calon akar (sering kali merupakan faktor bilangan bulat dari suku konstanta, sesuai dengan Teorema Akar Rasional) satu per satu hingga sebuah faktor ditemukan, kemudian mengulangi proses pada hasil bagi derajat rendah untuk memfaktorkan sepenuhnya.

Batas: pembagian sintetik kalkulator ini hanya menangani pembagi dengan bentuk eksak (x − c) — faktor linier monik. Membagi dengan sesuatu seperti (2x − 3) memerlukan faktor utama terlebih dahulu, atau kembali ke pembagian panjang polinomial penuh.

❓

Pertanyaan

Pertanyaan umum

6 pertanyaan

Apa yang sebenarnya dihitung oleh pembagian sintetik?+

Ini membagi polinomial P(x) dengan faktor linier (x − c), menghasilkan hasil bagi polinomial satu derajat lebih rendah dan sisa konstan — hanya menggunakan tabel pendek koefisien polinomial alih-alih pembagian panjang penuh.

Apa teorema sisanya, dan bagaimana kalkulator ini menggunakannya?+

Teorema sisa mengatakan bahwa membagi P(x) dengan (x − c) selalu menyisakan sisa yang sama dengan P(c), polinomial yang dievaluasi pada x = c. Tab Teorema Sisa pada kalkulator menunjukkan nilai ini secara langsung — angkanya sama dengan sisa dari tab Hasil Bagi & Sisa, hanya dibingkai sebagai evaluasi, bukan pembagian.

Bagaimana saya tahu jika (x − c) merupakan faktor polinomial?+

Periksa sisanya. Jika tepat 0, (x − c) membagi polinomialnya secara merata, sehingga merupakan faktor — dan c adalah akar dari polinomial tersebut. Jika sisanya selain 0, (x − c) bukan merupakan faktor.

Bagaimana jika polinomial saya tidak memiliki suku, seperti tidak ada x² sama sekali?+

Masukkan 0 sebagai koefisien suku tersebut sehingga kolom tetap sejajar dengan pangkat x yang tepat. Misalnya, x⁴ + 2x − 5 (tanpa suku x³ atau x²) harus dimasukkan sebagai 1, 0, 0, 2, -5.

Apakah pembagian sintetik dapat dilakukan untuk sembarang pembagi, atau hanya (x − c)?+

Metode kalkulator ini hanya berfungsi untuk pembagi linier monik yang berbentuk eksak (x − c) — dengan koefisien x tepat 1. Pembagian dengan sesuatu seperti (2x − 3) tidak didukung langsung oleh pembagian sintetik dalam bentuk ini; Anda harus memfaktorkan koefisien utama terlebih dahulu atau menggunakan pembagian panjang polinomial penuh sebagai gantinya.

Apakah langkah-langkah individual ditampilkan, bukan hanya jawaban akhir?+

Ya. Tab Langkah menampilkan tabel lengkap kolom demi kolom, ditambah narasi bahasa sederhana dari setiap langkah, sehingga Anda dapat mengikuti — atau memeriksa pembagian sintetis buatan tangan Anda sendiri — satu kolom dalam satu waktu.

Unduh PDF satu halaman berisi hasil Anda. Masukkan alamat email untuk menerima kiat kalkulator sesekali. Tanpa spam, dan Anda dapat berhenti berlangganan kapan saja. Privasi.

Kalkulator Divisi Sintetis

Polinomial dan pembagi

Divisi sintetis bekerja

Pemeriksaan teorema sisa

Cara menggunakan kalkulator ini

Masukkan koefisiennya

Masukkan akar pembagi, c

Bacalah hasil bagi, sisa, dan langkah-langkahnya

Rumus dan metodologi

Penjelasan istilah penting

Contoh dalam kehidupan nyata

Kubik buku teks

Pemeriksaan teorema sisa

Tes faktor

Sitasi kalkulator ini

Memahami Divisi Sintetis

Cara kerja tabel penurunan

Mengapa ini juga memberi Anda P(c) gratis

Menggunakannya untuk menguji faktor dan menemukan akar

Pertanyaan umum

Dapatkan PDF hasil dengan merek Calculover

Kalkulator Divisi Sintetis

Polinomial dan pembagi

Divisi sintetis bekerja

Pemeriksaan teorema sisa

Cara menggunakan kalkulator ini

Masukkan koefisiennya

Masukkan akar pembagi, c

Bacalah hasil bagi, sisa, dan langkah-langkahnya

Rumus dan metodologi

Penjelasan istilah penting

Contoh dalam kehidupan nyata

Sitasi kalkulator ini

Memahami Divisi Sintetis

Cara kerja tabel penurunan

Mengapa ini juga memberi Anda P(c) gratis

Menggunakannya untuk menguji faktor dan menemukan akar

Pertanyaan umum

Dapatkan PDF hasil dengan merek Calculover

Jelajahi lebih lanjut

kalkulator terkait

Panduan & artikel