Segitiga Pascal adalah salah satu pola yang paling berguna dalam matematika: susunan segitiga sederhana yang dibangun dengan penjumlahan yang secara diam-diam mengkodekan koefisien binomial, kombinasi, dan bahkan distribusi probabilitas pelemparan koin. Kalkulator ini menghasilkan segitiga untuk sejumlah baris berapa pun, mencari satu entri dengan tepat, dan mengonfirmasi bahwa setiap baris berjumlah pangkat dua.
Bagaimana segitiga itu dibangun
Segitiga Pascal dimulai dengan angka 1 pada baris 0. Setiap baris setelahnya dimulai dan diakhiri dengan 1, dan setiap entri interior adalah jumlah dari dua entri diagonal di atasnya pada baris sebelumnya. Baris 1 adalah 1, 1. Baris 2 adalah 1, 2, 1 (2 = 1+1). Baris 3 adalah 1, 3, 3, 1 (masing-masing 3 = 1+2). Aturan penjumlahan ini setara dengan rumus koefisien binomial C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k), yang merupakan aturan Pascal.
Kalkulator ini tidak mengandalkan penjumlahan berulang untuk membuat baris besar — kalkulator ini menghitung setiap entri secara langsung sebagai C(baris, posisi) menggunakan rumus perkalian BigInt yang tepat, sehingga menghasilkan baris 29 sama presisinya dengan menghasilkan baris 2.
Mengapa koefisien binomial penting
C(n,k), dibaca "n pilih k", menyatakan banyaknya cara memilih kelompok tak berurutan yang terdiri dari k item dari n item berbeda. Nilai ini sering digunakan dalam probabilitas (peluang mendapat tepat k sisi gambar dalam n kali pelemparan koin), aljabar (koefisien ekspansi binomial seperti (x+y)ⁿ), serta kombinatorika, misalnya menghitung tiket lotre, kartu poker, atau susunan komite.
Karena C(n,k) dapat dihitung dengan rumus faktorial biasa n!/(k!(n−k)!), mungkin terasa mudah untuk menerapkannya menggunakan faktorial floating-point. Namun, faktorial melampaui kapasitas sekitar 170! dalam matematika presisi ganda standar. Kalkulator ini menghindari masalah itu dengan aritmetika bilangan bulat BigInt, sehingga hasil untuk n hingga ratusan tetap akurat dan tidak berubah menjadi Infinity atau kehilangan presisi tanpa disadari.
Batasan dan kasus tepi
Tab Segitiga dibatasi hingga 30 baris agar kisi-kisi tetap terbaca — lebih dari itu, entri menjadi sangat besar sehingga segitiga menjadi tidak terbaca meskipun perhitungan dasar tetap tepat. Tab Entri Tunggal dan Jumlah Baris menerima n yang jauh lebih besar karena hanya perlu menampilkan satu atau beberapa nilai; hasil yang sangat besar ditampilkan terpotong (kepala…ekor dengan jumlah digit) dan bukan sebagai dinding digit yang tidak dapat dibaca.
k harus selalu berada di antara 0 dan n inklusif — C(n,k) didefinisikan sebagai 0 di luar rentang tersebut, namun kalkulator ini menandainya sebagai input yang tidak valid dan bukannya mengembalikan nol secara diam-diam, karena k di luar rentang hampir selalu salah ketik.