Dekomposisi pecahan parsial mengambil satu ekspresi rasional dan membaginya menjadi jumlah pecahan yang lebih sederhana — kebalikan dari mencari penyebut yang sama. Ini muncul terus-menerus dalam kalkulus (mengintegrasikan fungsi rasional), persamaan diferensial (transformasi Laplace terbalik), dan teori kontrol. Kalkulator ini menangani tiga kasus yang dicakup oleh setiap kursus pendahuluan: faktor linier berbeda, faktor linier berulang, dan faktor linier yang dipasangkan dengan kuadrat tak tereduksi.
Mengapa menguraikan pecahan sama sekali
Beberapa operasi mudah dilakukan pada penjumlahan pecahan sederhana, namun sulit dilakukan pada satu pecahan rumit. Mengintegrasikan 1/(x − 1) adalah aturan log satu baris; pengintegrasian (3x + 5)/[(x + 1)(x + 2)] secara langsung tidaklah jelas sampai ditulis ulang menjadi 2/(x + 1) + 1/(x + 2), yang mana merupakan dua integral log mudah yang dijumlahkan. Trik yang sama menyederhanakan transformasi Laplace terbalik dan pekerjaan turunan parsial dalam kursus teknik.
Metode menutup-nutupi akar yang berbeda
Jika setiap faktor penyebut merupakan suku linier yang berbeda (x − r), masing-masing faktor mendapat tepat satu konstanta yang tidak diketahui. Cara tercepat untuk mencarinya adalah dengan metode menutup-nutupi (Heaviside): mengalikan seluruh persamaan dengan faktor tunggal tersebut, yang akan menghilangkan persamaan di sebelah kiri dan mengubah setiap suku lain di sebelah kanan menjadi nol saat Anda mensubstitusikan x sama dengan akar faktor tersebut. Yang tersisa hanyalah konstanta, yang dihitung secara langsung — tidak diperlukan sistem persamaan.
Faktor kuadrat yang berulang dan tidak dapat direduksi memerlukan lebih banyak suku
Faktor berulang (x − r)^k tidak mempunyai satu suku — ia memerlukan suku terpisah untuk setiap pangkat dari 1 sampai k, karena konstanta tunggal pada (x − r)^k tidak dapat mereproduksi setiap derajat pembilang yang mungkin di bawah k. Demikian pula, faktor kuadrat tak tereduksi (yang tidak memiliki akar real) memerlukan pembilang linier, Bx + C, dan bukan konstanta biasa, karena konstanta saja tidak dapat menyamai pembilang yang bervariasi terhadap x. Salah mengartikan istilah bentuk dan tidak ada himpunan konstanta yang akan membuat dekomposisi sama dengan ekspresi aslinya.
Memeriksa pekerjaan Anda
Cara paling pasti untuk mengetahui kesalahan aritmatika adalah dengan membalik prosesnya: kalikan kembali hasil dekomposisi tersebut dengan penyebut yang sama dan pastikan pembilangnya cocok dengan pembilang yang Anda mulai. Tab Verifikasi pada kalkulator ini melakukan hal tersebut — baik secara simbolis (menggabungkan kembali suku-suku tersebut menjadi satu polinomial) maupun secara numerik (mengevaluasi ekspresi asli dan dekomposisi pada nilai x yang sama dan membandingkan hasilnya).