How do you find the determinant of a 2×2 matrix?

For A = [[a, b], [c, d]], det(A) = ad − bc — multiply the two diagonal entries together, then subtract the product of the two off-diagonal entries.

How do you find the determinant of a 3×3 matrix?

Expand along a row using cofactor (Laplace) expansion: multiply each entry in the row by the determinant of the 2×2 minor left after deleting that entry's row and column, alternate the signs (+, −, +), and add the three results together.

What does det(A) = 0 mean?

The matrix is singular — its rows or columns are linearly dependent. A singular matrix has no inverse, and any linear system it represents has either no solution or infinitely many.

What does it mean for a matrix to be invertible?

A matrix is invertible exactly when its determinant is nonzero. Invertible matrices have a unique inverse A⁻¹ such that multiplying A by A⁻¹ produces the identity matrix.

What's the sign rule in cofactor expansion?

Signs alternate in a checkerboard pattern: the cofactor for position (row i, column j) carries sign (−1)^(i+j). Expanding along row 1 gives the familiar +, −, +, − sequence across the columns.

Does this calculator show the steps?

Yes — the Steps tab shows the full cofactor-expansion breakdown for whatever matrix you entered on the Determinant tab, including each signed term and its minor matrix for 3×3 and 4×4 sizes.

Kalkulator Penentu Matriks — 2×2, 3×3, 4×4

Nilai determinan dan apakah matriksnya invertible atau singular
Penentu	Hasil
det(A) ≠ 0	Dapat dibalik - matriks memiliki invers
det(A) = 0	Tunggal - tidak ada kebalikannya

📋

Panduan langkah demi langkah

Cara menggunakan kalkulator ini

5 langkah

1

Pilih ukuran matriks

Pilih 2×2, 3×3, atau 4×4 dari pemilih ukuran pada tab Penentu. Grid entri dibangun kembali secara instan agar sesuai, dan nilai apa pun yang masih sesuai dengan ukuran baru akan disimpan.

2

Masukkan nilai matriks

Ketikkan nomor ke dalam setiap sel kisi, baris demi baris. Angka negatif dan desimal baik-baik saja — determinannya dihitung ulang pada setiap penekanan tombol, tidak diperlukan tombol Hitung.

3

Baca determinannya

Kartu hasil menunjukkan det(A) segera setelah setiap sel terisi, bersama dengan garis bahasa sederhana yang menunjukkan apakah matriks tersebut dapat dibalik atau tunggal.

4

Buka tab Langkah

Beralih ke Langkah-langkah untuk melihat rincian ekspansi kofaktor secara lengkap — untuk 2×2 adalah aritmatika langsung ad − bc; untuk 3×3 dan 4×4 masing-masing merupakan suku ekspansi bertanda sepanjang baris 1, dengan matriks minornya ditampilkan.

5

Periksa invertibilitas, atau coba preset

Tab Pemeriksaan Singular menyatakan kembali determinan yang sama terhadap aturan det = 0. Gunakan chip yang telah ditetapkan (2×2, 3×3, 3×3 tunggal, 4×4, dan matriks identitas) untuk melihat setiap kasus diselesaikan tanpa mengetik apa pun.

⚡

Referensi

Rumus dan metodologi

3 rumus

Ekspansi kofaktor (Laplace).

det(A) = Σ (−1)^(1+j) · a₁ⱼ · det(M₁ⱼ), for j = 1 to n

Penentu matriks n×n dihitung dengan memperluas sepanjang baris (di sini, baris 1): kalikan setiap entri dalam baris tersebut dengan determinan minornya — matriks lebih kecil yang tersisa setelah baris dan kolom entri tersebut dihapus — dan tambahkan hasilnya dengan tanda bergantian. Kalkulator ini menerapkan aturan tersebut secara rekursif, sehingga rumus yang sama mencakup matriks 2×2, 3×3, dan 4×4.

2×2 special case

det([[a, b], [c, d]]) = ad − bc

Untuk matriks 2×2, perluasan kofaktor diciutkan menjadi pengurangan tunggal ini — ini adalah kasus dasar yang pada akhirnya akan diekspansi oleh setiap determinan yang lebih besar.

Pola tanda tangan

sign(i, j) = (−1)^(i+j)

Tanda kofaktor bergantian dalam pola kotak-kotak yang dimulai dengan + di pojok kiri atas: +, −, +, − melintasi baris 1. Kalkulator ini selalu meluas sepanjang baris 1, sehingga tanda yang digunakan adalah +, −, +, − (hingga 4 kolom).

📖

Glosarium

Penjelasan istilah penting

7 istilah

Bilangan tunggal yang dihitung dari matriks persegi yang merangkum bagaimana matriks menskalakan luas (2×2), volume (3×3), atau hiper-volume (4×4). Ditulis det(A) atau |A|. Penentu nol berarti matriks meruntuhkan ruang ke dimensi yang lebih rendah.

Minor bertanda: determinan matriks yang tersisa setelah satu baris dan satu kolom dihilangkan, dikalikan dengan (−1) dipangkatkan ke jumlah posisi baris dan kolom tersebut. Ekspansi kofaktor menjumlahkan entri dikalikan kofaktornya pada suatu baris atau kolom.

Matriks (n−1)×(n−1) yang lebih kecil yang tersisa setelah menghapus satu baris dan satu kolom dari matriks n×n. Setiap kofaktor dibangun dari determinan minornya sendiri.

Matriks persegi yang determinannya tepat 0. Matriks singular tidak mempunyai invers, dan sistem linier yang diwakilinya tidak mempunyai solusi atau banyak tak terhingga.

Matriks persegi dengan determinan bukan nol. Matriks yang dapat dibalik mempunyai invers unik A⁻¹ sehingga A · A⁻¹ sama dengan matriks identitas.

Nama lain untuk ekspansi kofaktor — metode umum (dikreditkan kepada Pierre-Simon Laplace) untuk menghitung determinan dengan ukuran berapa pun dengan memperluas sepanjang baris atau kolom yang dipilih.

Kotak angka berbentuk persegi panjang. Kalkulator ini hanya menangani matriks persegi (baris dan kolom yang sama), karena determinan hanya ditentukan untuk matriks persegi.

👥

Skenario

Contoh dalam kehidupan nyata

3 contoh nyata

🔢

2×2 dengan tangan

SEBUAH = [[4, 3], [6, 3]]

Ukuran 2×2 Matriks [4, 3, 6, 3]

det(A) = iklan − bc = (4)(3) − (3)(6) = 12 − 18 = −6. Penentunya bukan nol, jadi matriks ini dapat dibalik - baris-barisnya mengarah ke arah yang benar-benar berbeda, bukannya jatuh ke garis yang sama.

🧮

3×3 cofactor walk

SEBUAH = [[1, 2, 3], [0, 1, 4], [5, 6, 0]]

Ukuran 3×3 Matriks [1, 2, 3, 0, 1, 4, 5, 6, 0]

Perluasan sepanjang baris 1: +1·det([1,4;6,0]) − 2·det([0,4;5,0]) + 3·det([0,1;5,6]) = 1(0−24) − 2(0−20) + 3(0−5) = −24 + 40 − 15 = 1. det(A) = 1, maka matriksnya adalah dapat dibalik.

⚠️

Matriks tunggal

SEBUAH = [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [3, 5, 7]]

Ukuran 3×3 Matriks [1, 2, 3, 2, 4, 6, 3, 5, 7]

Baris 2 tepat dua kali baris 1 — baris-baris tersebut bergantung linier, sehingga determinannya bernilai tepat 0. Matriks ini berbentuk tunggal: tidak mempunyai invers, dan sistem linier yang dibangun dari matriks tersebut tidak mempunyai solusi atau banyak sekali.

🔗

Referensi

Sitasi kalkulator ini

APA & MLA

Gunakan salah satu format ini untuk menyitasi kalkulator dalam makalah, laporan, atau daftar sumber.

APA

MLA

📄

Ulasan mendalam

Memahami Kalkulator Penentu Matriks

3 bab · 3 menit membaca

Penentu memadatkan seluruh matriks persegi menjadi satu bilangan, dan bilangan tersebut menjawab salah satu pertanyaan paling berguna dalam aljabar linier: apakah matriks ini mempunyai invers? Kalkulator ini menjelaskan metode ekspansi kofaktor yang digunakan untuk menghitung determinan secara manual untuk matriks 2×2, 3×3, atau 4×4, dan menampilkan setiap suku bertanda di sepanjang metode tersebut.

Cara kerja ekspansi kofaktor

Ekspansi kofaktor (Laplace) menghitung determinan dengan memilih sebuah baris — kalkulator ini selalu menggunakan baris 1 — dan, untuk setiap entri dalam baris tersebut, mengalikannya dengan determinan dari minor (matriks yang tersisa setelah menghapus baris dan kolom entri tersebut), dengan tanda bolak-balik dimulai dari +. Untuk matriks 2×2, prosesnya diciutkan ke rumus tunggal ad − bc. Untuk 3×3, masing-masing tiga entri pada baris 1 dikalikan dengan determinan minor 2×2nya. Untuk 4×4, keempat entrinya dikalikan dengan determinan minor 3×3, yang langsung dihitung oleh kalkulator. Menjumlahkan suku-suku yang ditandatangani akan menghasilkan determinan akhir.

Apa yang dimaksud dengan determinan nol

Determinan yang tepat 0 berarti matriksnya tunggal: baris (atau kolomnya) bergantung linier — satu baris dapat ditulis sebagai kombinasi baris lainnya, sehingga matriks menekan ruang ke dimensi yang lebih rendah alih-alih merenggangkannya menjadi bentuk n-dimensi penuh. Matriks tunggal tidak memiliki invers, dan jika matriks tersebut merepresentasikan sistem persamaan linear, maka sistem tersebut tidak mempunyai solusi sama sekali atau memiliki banyak solusi. Sebaliknya, determinan yang bukan nol berarti matriksnya dapat dibalik — terdapat invers unik A⁻¹ sehingga A · A⁻¹ menghasilkan matriks identitas.

Membaca pola tanda

Tanda bolak-balik + dan − pada pemuaian kofaktor mengikuti pola kotak-kotak: tanda kofaktor untuk baris i, kolom j adalah (−1) dipangkatkan (i + j). Karena kalkulator ini selalu mengembang sepanjang baris 1 (i = 1), tanda-tandanya hanya bergantian +, −, +, − melintasi kolom. Pola itulah yang menyebabkan suku tengah suatu pemuaian 3×3 selalu dikurangi sedangkan suku pertama dan ketiga dijumlahkan — pola ini tidak sembarangan, karena suku ini langsung keluar dari aturan (−1)^(i+j).

❓

Pertanyaan

Pertanyaan umum

6 pertanyaan

Bagaimana cara mencari determinan matriks 2×2?+

Untuk A = [[a, b], [c, d]], det(A) = ad − bc — kalikan dua entri diagonal, lalu kurangi hasil kali dua entri di luar diagonal.

Bagaimana cara mencari determinan matriks 3×3?+

Perluas sepanjang baris menggunakan ekspansi kofaktor (Laplace): kalikan setiap entri dalam baris dengan determinan minor 2×2 yang tersisa setelah menghapus baris dan kolom entri tersebut, ganti tanda (+, −, +), dan jumlahkan ketiga hasilnya.

Apa maksudnya det(A) = 0?+

Matriksnya tunggal — baris atau kolomnya bergantung linier. Matriks tunggal tidak mempunyai invers, dan sistem linier apa pun yang diwakilinya tidak mempunyai solusi atau banyak tak terhingga.

Apa yang dimaksud dengan matriks yang dapat dibalik?+

Suatu matriks dapat dibalik jika determinannya bukan nol. Matriks yang dapat dibalik memiliki invers unik A⁻¹ sehingga mengalikan A dengan A⁻¹ menghasilkan matriks identitas.

Apa aturan tanda pada ekspansi kofaktor?+

Tanda bergantian dalam pola kotak-kotak: kofaktor untuk posisi (baris i, kolom j) membawa tanda (−1)^(i+j). Memperluas sepanjang baris 1 menghasilkan urutan +, −, +, − yang familiar di seluruh kolom.

Apakah kalkulator ini menunjukkan langkah-langkahnya?+

Ya — tab Langkah menampilkan perincian ekspansi kofaktor lengkap untuk matriks apa pun yang Anda masukkan pada tab Penentu, termasuk setiap suku bertanda tangan dan matriks minornya untuk ukuran 3×3 dan 4×4.

Unduh PDF satu halaman berisi hasil Anda. Masukkan alamat email untuk menerima kiat kalkulator sesekali. Tanpa spam, dan Anda dapat berhenti berlangganan kapan saja. Privasi.

Kalkulator Penentu Matriks

Matriks

itu(A)

Ekspansi kofaktor

itu(A)

Dapat dibalik atau tunggal?

Matriks ini adalah

Cara menggunakan kalkulator ini

Pilih ukuran matriks

Masukkan nilai matriks

Baca determinannya

Buka tab Langkah

Periksa invertibilitas, atau coba preset

Rumus dan metodologi

Penjelasan istilah penting

Contoh dalam kehidupan nyata

2×2 dengan tangan

3×3 cofactor walk

Matriks tunggal

Sitasi kalkulator ini

Memahami Kalkulator Penentu Matriks

Cara kerja ekspansi kofaktor

Apa yang dimaksud dengan determinan nol

Membaca pola tanda

Pertanyaan umum

Dapatkan PDF hasil dengan merek Calculover

Kalkulator Penentu Matriks

Matriks

itu(A)

Ekspansi kofaktor

itu(A)

Dapat dibalik atau tunggal?

Matriks ini adalah

Cara menggunakan kalkulator ini

Pilih ukuran matriks

Masukkan nilai matriks

Baca determinannya

Buka tab Langkah

Periksa invertibilitas, atau coba preset

Rumus dan metodologi

Penjelasan istilah penting

Contoh dalam kehidupan nyata

Sitasi kalkulator ini

Memahami Kalkulator Penentu Matriks

Cara kerja ekspansi kofaktor

Apa yang dimaksud dengan determinan nol

Membaca pola tanda

Pertanyaan umum

Dapatkan PDF hasil dengan merek Calculover

Jelajahi lebih lanjut

kalkulator terkait

Panduan & artikel